La convergencia de conjuntos convexos en la complementaria métrica de Hausdorff y en el habitual métrica de Hausdorff

Question

En primer lugar, permítanme definir lo que es la complementaria de la distancia de Hausdorff entre dos conjuntos, I se denota por a $d^{H}$ la habitual distancia de Hausdorff en $\mathbb{R}^n$.

Deje $\Omega_1$ $\Omega_2$ dos subconjuntos de un (gran) juego compacto $B \subset \mathbb{R}^n$, entonces su complementario de la distancia de Hausdorff es definido por : $$d_{H}(\Omega_1 , \Omega _2) := d^{H}(B \setminus \Omega_1 , B\setminus \Omega_2)$$

Deje $\Omega_n$ estar delimitado abrir los subconjuntos de a $\mathbb{R^n}$ tal que $\Omega_n$ son convexas y convergen a un vacío convexo conjunto abierto $\Omega$, en el sentido de Hausdorff complementarios métrica.

Me gustaría demostrar que el cierre de la secuencia de $\Omega_n$, denotado $\overline{\Omega_n}$, converge a $\overline{\Omega}$ en el habitual métrica de Hausdorff.

En otras palabras, si:

($\Omega_n \longrightarrow \Omega $ en el complemento de métrica de Hausdorff )$\Longrightarrow( \overline{\Omega_n} \longrightarrow \overline{\Omega}$ en el habitual métrica de Hausdorff ).

Answer 1

(1) $A_n\rightarrow A$ $a_n\in A\rightarrow a$ $a\in A$

(2) Si $p\in \Omega$, ya que el $\Omega$ es abierto así que no es de $r>0$ s.t. abierto bola de $B(p,r)$ $\Omega$

Por lo tanto, no es $N$ s.t. $n>N$ implica $$ B(p,r/2)\subset \Omega_n$$

Prueba : Si no existe, no es $p_n$ s.t. $|p-p_n|<\frac{r}{2}$ $p_n$ no es en $\Omega_n$ (indexar).

Por lo tanto $p_n\in B-\Omega_n$. Por compacidad, no es larga $p_n\rightarrow q$.

Así que por supuesto (cf. (1)), $q\in B-\Omega$. Aquí $|p-q|\leq \frac{r}{2}$ so that $q\in \Omega$. Esta es una contradicción.

(3) Dado que el $\overline{\Omega}_n$ es compacto convexo en $B$, entonces no es larga cuyo límite es un compacto convexo $C$.

(4) Por (2), $C$ contiene $\Omega$.

(5) Si $q\in C$ s.t. $|q-\Omega|=R>0$ , $B(p,R/2)\subconjunto B-\Omega$

Por lo tanto, no es $\frac{1}{n}$-net $S_n$ $B(q,R/2)$ en $B-\Omega_n$

Por lo tanto $S_n$ no $\overline{\Omega}_n$ e $S_n\rightarrow B(p,R/2)$

(6) Desde $\Omega$ es abierto así que no es abrir balón $U$ en $\Omega$.

Desde convexo $C$ contiene ${\rm conv}\ \{q\}\cup U$, entonces podemos suponga que $C$ contiene $B(q,R/2)$.

Por lo tanto $\overline{\Omega}_n$ contiene $\frac{1}{k_n}$-net $T_n$ $B(q,R/2)$ $T_n\rightarrow B(q,R/2)$.

En más $S_n\cap {\rm conv}\ T_n =\emptyset$. Es una contradicción.

[viejo] Contraejemplo : Considerar un conjunto compacto $P_n:=\{(x,y,z)|x^2+y^2+\frac{z^2}{1/n}\leq 1\}$.

Claramente $P_n\rightarrow P$ $d_H$ donde $P=\{ (x,y,0)| x^2+y^2\leq 1 \}$

En más, $\Omega_n ={\rm Int}\ P_n \rightarrow \Omega=\emptyset$ en la complementaria,$d_H$. Aquí $\overline{\Omega}\neq P$.

Answer 2

Puede suponer que el origen de la $0$ está dentro de $\Omega$.

Denotar por $d$ la habitual distancia entre conjuntos ($\inf$ de pares distancias).

1. Para cualquier $0<\epsilon <1$ hemos $$d((1-\epsilon)\Omega, \Omega^c)= \delta_{\epsilon}>0$$ por lo $\Omega_n^c$ no tienen puntos en $(1-\epsilon)\Omega$ $n$ lo suficientemente grande, que es $$\Omega_n \supset (1-\epsilon)\Omega$$ para $n>n_{\epsilon}$

Deje $n> n_{1/2}$, por lo que el $\Omega_n$ contiene $\frac{1}{2}\Omega$. Deje $B$ ser una bola de radio $r$ centro $0$ dentro $\frac{1}{2}\Omega$. Suponga que $\Omega_n$ contiene algún punto de $x$ fuera de $\Omega$. Vamos a mostrar que punto tiene que estar bastante cerca de a $\Omega$ $n$ grandes. Deje $x= (1+\epsilon) x_0$ donde $x_0$ está en el límite de $\Omega$. Ahora $\Omega_n$ contiene $x$$B$, por lo que contendrá el convex hull $C$$\{x\}\cup B$. La distancia de $x_0$ al complemento de $C$ $\frac{\epsilon}{1+\epsilon} r$ (hacer una imagen en 2D). Por lo tanto, para $n>n'_{\epsilon}$ hemos $$\Omega_n\subset (1+\epsilon)\Omega$$.

Ahora sólo tenemos que comprobar que como $\epsilon \to 0$ $$(1\pm \epsilon) \bar \Omega\to \bar\Omega$$ in the usual Haausdorff metric (use compactness of $\bar \Omega$).