Arreglar $p\geq 1$ y considerar el conjunto $S$ de todos $f\in L^p(\mathbb R)$ con la propiedad de que $f\not\in L^q(\mathbb R)$ siempre que $1\leq q\leq\infty$ y $q\neq p$ . Por ejemplo, la función $f$ definido por $$f(x)=\begin{cases} (x\log^2x)^{-1/p}, & \mbox{if } 0<x<1/2\:\text{ or }\:2\leq x; \\ 0, & \mbox{otherwise} \end{cases}$$ está en $S$ . Tengo curiosidad por el tamaño del conjunto $S$ como un subconjunto de $L^p(\mathbb R)$ . En concreto, ¿podemos determinar si $S$ es de primera o segunda categoría en el espacio métrico completo $L^p(\mathbb R)$ ?
Respuesta
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zaq
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Dejemos que $T=L^p(\mathbb{R})\setminus S$ . Afirmo que $T$ es de primera categoría, y por tanto $S$ es de segunda categoría.
Por interpolación de los espacios de Lebesgue, si $f\in L^p\cap L^q$ entonces $f\in L^r$ para todos $r$ entre $p$ y $q$ . Por lo tanto, $T$ es la unión contable de conjuntos $L^p\cap L^q$ donde $q$ recorre todos los números racionales en $[1, \infty)\setminus \{p\}$ .
Para cada $q\ne p$ el conjunto $L^p\cap L^q$ es la unión contable de conjuntos $$ A_{p, q, k} = \{f : \|f\|_p\le k\ \text{ and }\ \|f\|_q\le k\} $$ Por lo tanto, basta con demostrar $A_{p, q, k}$ está cerrado en $L^p$ y tiene el interior vacío.
Cerrado : Si $f_n\in A_{p, q, k}$ y $f_n\to f$ en $L^p$ , entonces una subsecuencia converge a $f$ a.e., que por el lema de Fatou implica $\|f\|_q\le \liminf_n \|f_n\|_q \le k$ .
Interior vacío : elige un poco $g\in S$ . Para cualquier $f\in A_{p, q, k}$ y cualquier $\epsilon>0$ tenemos $f+\epsilon g\notin L^q$ Por lo tanto $f+\epsilon g\notin A_{p, q, k}$ . Esto muestra $f$ no es un punto interior de $A_{p, q, k}$ .
