$3\mathbb Z$ como un sumando directo de $\mathbb Z$

Question

Mostrar que $\mathbb Z$ no ha $\mathbb Z$ como un sumando directo: Supongamos $G$$3\mathbb Z$, son los dos sumandos directos de $\mathbb Z$ y muestran que $G$ debe ser isomorfo a $C_3$.

Primero de todo, ¿qué hace exactamente el supuesto de decir: $\mathbb Z=3\mathbb Z \oplus G$ o $\mathbb Z\simeq 3\mathbb Z \oplus G$?

En segundo lugar, tengo sólo una manera intuitiva de mostrar que $G\simeq C_3$. Es decir, "mod ambos lados por $\mathbb 3\mathbb Z\oplus\{0\}$". Si estoy dado que el $\mathbb Z=3\mathbb Z \oplus G$, entonces el único problema que yo veo es que formalmente $\mathbb 3\mathbb Z\oplus\{0\}$ no es un subgrupo de $\mathbb Z$, por lo que tengo que decir más palabras. Qué es exactamente la prueba formal debe parecerse? Si me dan a $\mathbb Z\simeq 3\mathbb Z \oplus G$, entonces aparte de lo anterior, creo que yo también debería justificar que si dos grupos son isomorfos, entonces tomando cocientes por isomorfo (supongo) subgrupos debe dar el mismo resultado. ¿Por qué es eso cierto?

Answer 1

Lo que los supuestos que se dice depende de si estás hablando de la interna o la externa directa de productos. Ya que estás hablando de la $3\mathbb Z$ que ya se identifican explícitamente como un subgrupo de $\mathbb Z$, probablemente tenga sentido hablar de la interna directa de los productos de aquí, caso en el cual la igualdad es la adecuada.

Estas dos nociones son equivalentes: en Cualquier momento usted escribe $G = H \oplus K$ como interna directa del producto, esto es equivalente a decir que el $G \cong H \oplus K$ como un producto directo externo, a través de un particular isomorfismo $\phi: G \to H\oplus K$ que satisface $\phi(H) = H\oplus 0$$\phi(K) = 0\oplus K$.

Si usted se considera externa directa de los productos en su lugar, a continuación, sólo la escritura $\mathbb Z \cong 3\mathbb Z \oplus G$ no describe completamente el problema. Debe suponerse que no existe ninguna es isomorfismo $\phi: \mathbb Z \to 3\mathbb Z \oplus G$, sino que además satisface $\phi(3\mathbb Z) = 3\mathbb Z\oplus 0$.

Como para "aparte de los de arriba ...", esto es correcto, sin embargo, usted debe ser cuidadoso con lo que entendemos por "isomorfo subgrupos". Si esto solo significa "subgrupos que son isomorfos entre sí como los grupos", entonces la afirmación es falsa; por ejemplo, $n\mathbb Z \cong \mathbb Z$ todos los $n\neq 0$$\mathbb Z$, pero $\mathbb Z / n\mathbb Z = C_n$ son no isomorfos para diferentes valores de $n$ (por lo general). En su lugar usted necesita una opción de isomorfismo entre los subgrupos que es compatible con la opción de isomorfismo entre los grupos más grandes.

Aquí está la versión exacta:

"Si $\phi: G \to H$ es un isomorfismo de grupos, y $G' \subseteq G, H' \subseteq H$ (normal) subgrupos tal que $\phi(G') = H'$, entonces no es un inducida por el isomorfismo de grupos de $\phi': G/G' \to H/H'$ da en términos de coset por $\phi'(gG') = \phi(g)H'$."

Como un aparte: también sería fácil mostrar que $3\mathbb Z$ no es una interna directa sumando de a $\mathbb Z$ lugar mostrando que cualquier subgrupo de $G$ $\mathbb Z$ que $G\cap 3\mathbb Z=0$ es trivial. (Si $n \in G$,$3n \in \mathbb Z\cap G = 0$$n=0$.)

Answer 2

Si $\mathbb Z \cong G\oplus 3\mathbb Z$, entonces no es canónica epimorphism $p\colon \mathbb Z\to G$ cuyo núcleo es $3\mathbb Z$. Definir el mapa de $\varphi\colon G\to\mathbb Z/3\mathbb Z$$\varphi (p(n)) = n + 3\mathbb Z$.

Tenemos que mostrar que este mapa está bien definido, así que vamos a $p(m) = p(n)$. Esto implica que $p(m-n) = 0$ o $m-n\in\ker p = 3\mathbb Z$. Por lo tanto, $\varphi(p(m)) = m + 3\mathbb Z = n + 3\mathbb Z= \varphi (p(n))$.

$\varphi$ es, obviamente, surjective, por lo que sigue siendo, para mostrar que es inyectiva. También, no me muestran que es homomorphism. Se puede terminar?