$X=A\cup B$ ser una cubierta abierta de a $X$. Si $X,A,B$ simplemente conectado , a continuación, $A\cap B$ trayectoria-conectado?

Question

Estoy tratando de probar o encontrar contraejemplo a la siguiente :

Deje $X=A\cup B$ ser una cubierta abierta de a $X$. Suponga que $X,A,B$ simplemente conectado , a continuación, $A\cap B$ debe trayectoria-conectado.

He intentado una prueba por contradicción : Suponga que el $A\cap B$ no trayectoria-conectado , y de selección de bucle, el cual comenzará a uno de los componentes conectados, decir $C_1$ , viajando a través de todos los otros componentes conectados , a continuación, volver a $C_1$.

Creo que el hecho de que este bucle es nullhomotopic implicará que A∩B está conectado, pero no he encontrado una prueba.

(No estoy seguro de si el verdadero)

Answer 1

Puedes aplicar la de Mayer-Vietoris secuencia:

$$H_1(X)\to \widetilde{H}_0(A \cap B) \to \widetilde{H}_0(A) \oplus \widetilde{H}_0(B)$$

Desde $X$ es de $H_1(X) = 0$. Desde $A$ $B$ simplemente están conectados, están ruta de acceso conectado y que su reducido 0-th homología de grupos son cero. Por lo tanto, $\widetilde{H}_0(A \cap B) = 0$ $A \cap B$ es la ruta de acceso conectado. Aquí estoy usando singular de homología.