La forma cerrada para $\frac{x}{1+x} +\frac{x^2}{1+x+x^2} +\frac{x^3}{1+x+x^2+x^3}+...$

Question

Estoy tratando de evaluar esta serie infinita que se ve hermosa para mí $$S=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^n}{1+x+...+x^n}$$ All I could do is prove that it converges for $|x|<1$ y traté de encontrar una forma adecuada para que yo pueda explotar con un integrante, sin embargo, yo no era un éxito. Me encantaría ver una forma cerrada. (esta es una pregunta que también fue publicado en otros sitios como AoPS, pero no recibir una respuesta, así que espero que nadie mentes si he puesto aquí también)

Answer 1

Podemos hacer uso de los Lambert de la serie:

$$S(x)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{x^n}{\sum_{k=0}^nx^k}=\sum_{n=2}^{\infty}\frac{x^{n-1}-x^n}{1-x^n}=\left(\frac{1}{x}-1\right)L(1,x)-1,$$

donde $L(f,q)$ es la de Lambert generación de la función de $f$:

$$L(f,q):=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{f(n)q^n}{1-q^n}=\sum_{n=1}^{\infty}(f*1)(n)q^n$$

y $*$ es de Dirichlet de convolución. Conectar $L(1,q)=\frac{\psi_q(1)+\ln(1-q)}{\ln(q)}$ donde $\psi_q(z)$ es el $q$-función digamma, tenemos

$$S(x)=\left(\frac{1}{x}-1\right)\frac{\psi_x(1)+\ln(1-x)}{\ln(x)}-1.$$

Si desea una potencia de la serie se puede escribir, como @hicieron señaló, como

$$S(x)=\sum_{n=1}^{\infty}(\sigma_0(n+1)-\sigma_0(n))x^n,$$

donde $\sigma_0(n)$ es el divisor de la función que cuenta el número de divisores de a $n$.