El Teorema fundamental de la Aritmética establece que todo número entero positivo tiene una factorización de primos única.

Question

Una declaración común de El Teorema Fundamental de la Aritmética dice:

Cada número entero mayor que $1$ se puede expresar como un producto de potencias de los distintos números primos de forma única a un reordenamiento de los factores.

Ahora, la declaración hace un punto de mencionar que la factorización es única hasta la reordenación de los factores, diciendo básicamente que no tenemos que preocuparnos ya que la multiplicación de los números enteros es conmutativa. Pero, ¿por qué no especificar que también es único hasta la elección del orden en que se multiplican los factores? I. e, que no tenemos que preocuparnos ya que la multiplicación de los números enteros es asociativa demasiado? Si insistimos en la multiplicación de ser una operación binaria, entonces tenemos que definir algunos grupos cuando tenemos un producto de más de dos enteros. No debería haber una cláusula en el Teorema Fundamental que indica, por ejemplo, que el $30 = (2\times (3 \times 5))$ $30 = ((2\times 3) \times 5)$ no son distintas factorizations?

Answer 1

Escrito $a(bc)$ no es distinta de la escritura $(ab)c$, o cualquier variante en este formulario.

De lo que usted habla puede ocurrir de manera abstracta, no sólo en $\mathbb{Z}$. Los Magmas y quasigroups no insistir en la asociatividad, y en tales situaciones, un singular factorización no siempre pueden ocurrir. Pero la asociatividad de la multiplicación (y también, además) tiene para todos los anillos - este es un axioma. Así que su conclusión de que $abc$ factores tanto $a(bc)$ $(ab)c$ no es lógico. Creo que de la multiplicación como una función binaria, de$\mathbb{Z}$$\mathbb{Z}$, no como una formación de una palabra. Sólo notationally es$a(bc)$$\mathbb{Z}$, ya que se asigna a un individuo $z\in \mathbb{Z}$. Pero $a(bc)$ intrínsecamente, como un símbolo, es una función de espera para la valoración. Esto es por qué se dice que el $(ab)c=a(bc)$; tanto en forma de un mapa a sinónimo lugares.

No sé si su queja es con la noción o la notación, pero si usted sigue lo que te estoy diciendo, usted debe tratar de construir un anillo sin la asociatividad de la multiplicación para ayudarle en la comprensión de por qué esto funciona en $\mathbb{Z}$. Trate de mirar octonions - notación polaca (o anotación) no va a arreglar de la factorización en esa situación.

Answer 2

"El único" significa que no es exactamente una forma de escribir un número entero como una $k$-ary producto de números primos (hasta permutación de los factores).

Ya que gracias a la asociatividad, todas las colocaciones de paréntesis dar el mismo producto, no importa cual de las concatenaciones de las operaciones binarias que uno utiliza para la definición de la $k$-ary producto.

Uno simétrica forma de pensar, es lo definen como una clase de equivalencia de todas estas expresiones.

Si usted insiste en la notación polaca, luego nos llegan, por ejemplo, $30=*_3 2\ 3\ 5 $ donde $*_3$ denota el ternario operador de multiplicación.

Answer 3

Para dar una nueva respuesta a la nueva pregunta (como opuesto a todo el que se fusionaron en las respuestas a una muy vieja pregunta): no hay ninguna razón intrínseca.

Presumiblemente, es sobre todo un artefacto del hecho de que podemos notationally aprovechar la asociatividad simplemente omitiendo paréntesis, pero no podemos hacer lo mismo para la conmutatividad ya que el texto es lineal y medio.

Realmente, se trata de lo que exactamente usted toma el Teorema Fundamental de la Aritmética, como diciendo. Específicamente, lo que es un "producto de potencias de números primos". En la más formal de las presentaciones, nos suelen decir algo así como: para cada entero positivo $n$, tenemos un finito () conjunto de los números primos $P$ y una familia de enteros positivos $\{n_p\}_{p\in P}$ tal que $n = \prod_{p\in P}p^{n_p}$, y que junto a $P$ y de la familia, $\{n_p\}_{p\in P}$ se determina únicamente por $n$. Otra versión es que para cada entero positivo $n$, no hay una única (finito) conjunto múltiple (también conocido como la bolsa) de los números primos, $B_n$, de tal manera que $n=\prod B_n$, que está bien definido ya que la multiplicación es asociativa y conmutativa. Otra interpretación sería que para cada entero positivo $n$, hay una lista (también conocido como secuencia finita) de los números primos, $L_n$, de tal manera que $n=\prod L_n$, que está bien definido ya que la multiplicación es asociativa. Esta lista es sólo entonces la única a la reordenación. Una lista modulo reordenación es finita conjunto múltiple.

Podemos elegir otras representaciones para un "producto de potencias de números primos". Por ejemplo, podríamos decir que para cada entero positivo $n$, obtenemos un plazo $t_n$ en el plazo de álgebra $T_\Sigma(\mathbb P)$ donde $\mathbb P$ es el conjunto de los números primos y la firma de $\Sigma$ se compone de una constante símbolo $1$ y una operación binaria $*$. Tenemos $n=\prod(t_n)$ donde $\prod:T_\Sigma(\mathbb P)\to\mathbb N$ es definida por inducción estructural a través de $\prod(1)=1$, $\prod(p)=p$, y $\prod(t*t')=\prod(t)\prod(t')$. $t_n$ es entonces único hasta reassociating usos de $*$, la reordenación de los argumentos de $*$, y teniendo en cuenta $1*t=t=t*1$. Podríamos cociente $T_\Sigma(\mathbb P)$ por la congruencia generado por la relativa $1*t\sim t\sim t*1$. Esto haría $T_\Sigma(\mathbb P)/{\sim}$ gratis unital magma. $\prod$ queda bien definido y el $t_n\in T_\Sigma(\mathbb P)/{\sim}$ es ahora el único hasta reassociating usos de $*$ y la reordenación de los argumentos de $*$. Podríamos seguir cociente por la congruencia generado por además relativas $(t*t')*t\sim t*(t'*t'')$. Esto hace que $T_\Sigma(\mathbb P)/{\sim}$ gratis monoid, es decir, el conjunto de listas de números primos. $\prod$ queda bien definido y $t_n$ es único hasta la reordenación de los argumentos de $*$. De hecho, $t_n$ es esencialmente $L_n$ en el párrafo anterior. Podríamos entonces con mayor cociente por la congruencia generado por además relativas $t*t'\sim t'*t$. En este caso, $T_\Sigma(\mathbb P)/{\sim}$ es esencialmente el conjunto finito de multisets de números primos. $\prod$ queda bien definido y $t_n$ ahora es simplemente único. No debería ser ninguna sorpresa ahora que $t_n$ es esencialmente $B_n$ en el párrafo anterior.

Este término orientado a la perspectiva que deja en claro que no hay ninguna razón intrínseca para considerar los términos modulo asociatividad y la identidad, pero no conmutatividad. Pensar en términos de listas, aunque, es decir, hasta la asociatividad y la identidad, pero no conmutatividad, tiene algunos beneficios. En primer lugar, las listas/secuencias finitas son cosas que la mayoría de personas están familiarizadas con el mientras multisets/bolsas se discute mucho menos. Las listas son más canónica de las otras opciones que he mencionado, excepto para multisets. Listas visto como términos modulo asociatividad y la identidad tienen formas normales, mientras que multisets no. A grandes rasgos, esto significa dos forma normal condiciones de la libre monoid término álgebra son iguales si y sólo si se ven iguales. Es cierto que, que no ayuda mucho en este caso, dado que sólo estamos considerando listas para su reordenación.

En última instancia, la forma en que me gustaría recomendar pensando en el Teorema Fundamental de la Aritmética es que dice que todo número entero positivo es igual al producto de un conjunto múltiple de números primos para algunas único conjunto múltiple de los números primos. Decir una "lista hasta el reordenamiento de" es sólo una manera de decir "conjunto múltiple" sin tener que introducir explícitamente el concepto de un conjunto múltiple.

Answer 4

Por la asociatividad y conmutatividad de la multiplicación que se puede normalizar productos primarios por parte de la derecha-la asociación de soportes y ordenar números primos menos-en primer lugar. Ahora único de la factorización de las cantidades a

$$\rm 2^{u_0} (3^{u_1} (5^{u_2} \cdots p_k^{u_k}))\ =\ 2^{v_0} (3^{v_1} (5^{v_2} \cdots p_k^{v_k}))\ \ \Rightarrow\ \ u_i = v_i,\ \ i = 0,\ldots,k $$

Equivalentemente, el multiplicativo monoid de enteros positivos es libremente generada por los números primos, es decir, que es isomorfo a la libre monoid de "exponente vectores" $\:\in \mathbb N^{\mathbb N}\:,\:$ es decir si $\rm\:v = (v_0,v_1,\ldots)\in \mathbb N^{\mathbb N}$ es una secuencia de productos naturales con finito de apoyo, a continuación, el monoid mapa de $\rm\:v\mapsto 2^{v_0} (3^{v_1} (5^{v_2} \cdots ))\:$ de los rendimientos de un isomorfismo $\rm\ (\mathbb N^{\mathbb N},\: +)\:\cong (\mathbb P\:,\: \cdot)\:.\:$ Que este mapa está en medio de los números primos son los generadores, es decir, la existencia de factorización prima; que es $1$ $1$es la inferencia de la muestra - que no hay ninguna que no sea trivial multiplicativo de las relaciones entre los generadores, es decir, la singularidad de primer factorizations.

Su pregunta tiene que ver no con la de arriba semántica de factorización única, sino más bien con la sintáctica cuestiones de cómo se elige para representar los términos de (gratis) monoids. Por supuesto, hay varias posibilidades. Monoid términos pueden ser representados como cadenas, multisets, o bolsas, dependiendo de lo que es conveniente para el hombre o la máquina. Pero estos de bajo nivel de representación de los detalles poco tienen que ver con los conceptos de alto nivel. Como he subrayado en su anterior pregunta, si uno pasa demasiado tiempo pensando en bajo nivel representaional importa, entonces uno se arriesga a perder el bosque por los árboles.

Asociativa de la normalización es, de hecho, incorporado a la representación - ya sea la notación empleada por los seres humanos o bolsas/multisets por las máquinas. Pero eso no es un defecto, sino una característica. No hay necesidad de hablar de las diferentes asociaciones de los productos cuando se trabaja en monoids porque la asociatividad tiene universalmente en monoids por hipótesis (axioma). Este universal de la normalización se hace una vez y para todos, de modo que uno puede concentrarse en la esencia de la cuestión. La asociatividad de la multiplicación no es más un motivo de preocupación en monoid expresiones de lo que es la asociatividad de la adición de expresiones polinómicas. Lo mismo se aplica incluso en el contexto de la vida real. Control remoto manuales no dicen nada acerca de la asociatividad de una cadena de pulsación de botón, porque no es necesario. Se supone que por el contexto de $\rm(A\ B)\ C = A\ (B\ C)$. Por lo tanto no hace ninguna diferencia si uno de los lugares $\rm(A\ B)$ a un botón de macro $\rm D$ a continuación, se ejecuta $\rm D C$ o una $\rm (B C)$ a un botón de macro $\rm E$ y, a continuación, ejecuta $\rm A\ E$. Tales hipótesis son integrada por defecto en muchos contextos - con rigor o de manera informal.

Compara la respuesta que recibirá llamando al teléfono de atención al cliente para su DVR y pedirles el análogo pregunta acerca de la asociatividad de pulsaciones de botón. Ser un filósofo, tal vez usted puede encontrar que el ejercicio más interesante que esta. Su informal explicaciones puede revelar más acerca de esas cuestiones epistemológicas de las respuestas aquí.

Answer 5

De La Wikipedia:

Por lo tanto, cuando se $\ast$ es asociativa, el orden de evaluación por lo tanto puede ser de izquierda sin especificar sin causar ambigüedad, al omitir los paréntesis

La multiplicación es asociativa, por lo que no hay ningún punto en la consideración de las $2\cdot(3\cdot 5)$ $(2\cdot 3)\cdot 5$ "diferentes formas de escritura de 30". Ambos corresponden a la expresión $2\cdot3\cdot 5$. O, si usted realmente insistir, podemos agregar "hasta el fin y los paréntesis" en la declaración de los TLC.

En virtud de su interpretación, el número de maneras de escribir $n$ como un producto de números primos serían $C_{k-1}$ donde $k$ es el número de factores primos de a $n$, contados con su multiplicidad (ver aquí). El lugar donde es casi tan bonito como diciendo que es único; sin embargo, otra razón para evitar esta interpretación.