Supongamos, $M_4, M_5,..M_n$ es como sigue a continuación, determinante y el polinomio característico de a $M_n$. $M_4=\left( \begin{array}{cccc} 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ \end{array} \right),M_5=\left( \begin{array}{ccccc} 0 & 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ \end{array} \right),M_6=\left( \begin{array}{cccccc} 0 & 0 & 1 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 0 & 0 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ \end{array} \right) \quad M_8=\left( \begin{array}{cccccccc} 0 & 0 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 0 & 0 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ \end{array} \right)$
Respuestas
¿Demasiados anuncios?
La matriz $M_n$ es un circulantes de la matriz de donde$c_0=c_1=c_{n-1}=0$) y otros ( $c_k=1$ . Autovalores y autovectores de matrices circulantes puede ser fácilmente calculada.
Si $J$ $n\times n$ matriz con todas las entradas 1, $M_n=J-I-C_n$ donde $C_n$ es la matriz de adyacencia del ciclo. El todo-uno vector es un vector propio de a $C_n$ con autovalor 2. Desde $C_n$ es simétrica, si $\lambda\ne2$ es un autovalor de a $C_n$ con autovector $z$, $z$ debe ser ortogonal a todos los queridos vector. Por lo tanto $Jz=0$ y por lo tanto $$ M_nz = (J-I-C_n)z = -(1+\lambda)z. $$ Por lo tanto, los autovalores de a $M_n$ $n-3$ y el número $-1-\lambda$ donde $\lambda$ ejecuta a través de los autovalores de a $C_n$ no es igual a 2, es decir, los números de $2\cos(2\pi k/n)$$k=1,\ldots,n-1$.
