Por favor considere esta bino-armónica de la suma:- nC0/a + nC0/a+d + nC0/ a+2d. . . . . . .nCn/a+nd He intentado mucho pero no podía conseguir cualquier cosa de cualquier manera todo fue fracaso..Ahora estoy empezando a pensar que soy un verdadero idiota ,por favor, que me ayude a resolver esto..
Respuestas
¿Demasiados anuncios?
Farkhod Gaziev
Puntos
6
$$(1-x^b)^n=\sum_{r=0}^n\binom nr(-1)^n x^{bn}$$
Integrar ambos lados entre el $(0,1)$
Ahora si $\displaystyle I_n=\int_0^1(1-x^b)^ndx,I_0=1$
como la serie suma de los coeficientes binomiales, $$I_n=\dfrac{bn}{bn+1}I_{n-1}=\prod_{r=1}^n\dfrac{br}{br+1}$$
Poner $b=\dfrac da$
Nilabro Saha
Puntos
6
Yo creo que se establecen para calcular
$$ \frac1a\binom{n}{0} - \frac{1}{a+d}\binom{n}{1} + \cdots + (-1)^n\frac{1}{a + nd}\binom{n}{n}. $$
Considerar el binomio de expansión de $x^{a-1}(1-x^d)^n$:
$$ x^{- 1}(1-x^d)^n = x^{- 1}\left( \binom{n}{0} - \binom{n}{1}x^d + \cdots + (-1)^n\binom{n}{n}x^{nd} \right) \\ = \binom{n}{0}x^{- 1} - \binom{n}{1}x^{a+d-1} + \cdots + (-1)^n\binom{n}{n}x^{a+nd-1} $$
La integración de w.r.t $x$,
$$ \int x^{- 1}(1-x^d)^n dx = \binom{n}{0}\frac{x^a}{a} - \binom{n}{1}\frac{x^{a+d}}{a+d} + \cdots + (-1)^n\binom{n}{n}\frac{x^{a+nd}}{a+nd} + c $$
A continuación, la serie que se quiere calcular está dado por
$$ \frac1a\binom{n}{0} - \frac{1}{a+d}\binom{n}{1} + \cdots + (-1)^n\frac{1}{a + nd}\binom{n}{n} = \int_0^1 x^{- 1}(1-x^d)^n dx. $$
Deje $x^d = u$. A continuación,$\frac{\text{du}}{\text{dx}} = dx^{d-1} \implies \text{dx} = \frac{\text{du}}{dx^{d-1}}$. La integral se transforma a
$$ \frac1d\int_0^1 x^{a-d}(1-x^d)^n du = \frac1d\int_0^1 u^{a/d-1}(1-u)^n du $$
Esta integral se calcula utilizando la función Gamma como sigue (Véase la respuesta a este post):
$$ \frac1d\int_0^1 u^{a/d-1}(1-u)^n du = \frac1d\frac{\Gamma(a/d) \Gamma(n + 1)}{\Gamma(a/d + n + 1)}. $$
