Una referencia que forza con un poset de cardinalidad menor que $\kappa$ preserva los cardenales supercompactos

Question

Estoy buscando una referencia para el hecho de que si $\kappa$ es supercompacto y $Q$ es un poset de cardinalidad menor que $\kappa$ entonces $V^Q\models \check{\kappa} \ \text{is supercompact}$ .

Parece que hay uno en Jech, pero no lo encuentro. ¿Alguna indicación?

Gracias.

Answer 1

Esto es Teorema 21.2 , p. $390$ en la parte inferior.

Answer 2

Existe un enfoque estándar para estos resultados, que se remonta a Lévy y Solovay. La cuestión es que, para cualquier $\lambda$ dado un testigo de incrustación $\lambda$ -supercompacto de $\kappa$ existe una forma canónica de elevar la incrustación a una $\lambda$ -supercompacto incrustado en $V^Q$ (utilizando simplemente que $Q$ es "pequeño"). Lévy y Solovay presentan esto en términos de extender los ultrafiltros en el modelo de tierra a los ultrafiltros en $V^Q$ de forma canónica. Su documento es

Azriel Lévy, Robert M. Solovay. Cardenales medibles y la hipótesis del continuo , Israel J. Math. 5 , (1967), 234-248. MR0224458 (37 #57) .

Además del documento de Lévy-Solovay o el argumento del libro de Jech, se puede ver una presentación moderna, por ejemplo, en el documento de Cummings en el Manual. También hay varios resultados de Hamkins y otros que extienden estas técnicas a otros contextos, véase por ejemplo

Joel David Hamkins, W. Hugh Woodin. El pequeño forzamiento no crea cardenales fuertes ni Woodin . Proc. Amer. Math. Soc. 128 (10) , (2000), 3025-3029. MR1664390 (2000m:03121) .

Muy brevemente, dado $j:V\to M$ , defina $\hat j:V[G]\to M[G]$ por $\hat j(\dot x_G)=j(\dot x)_G$ . Los argumentos estándar verifican que esto está bien definido, es elemental, etc. Nótese que aquí estamos utilizando que $Q\in M$ . Si $Q$ tiene tamaño $\kappa$ o más grande, hay casos en los que la ampliación sigue siendo posible, pero hay que tener más cuidado. Por ejemplo, $j(Q)$ es en general estrictamente mayor que $Q$ por lo que la existencia de un $j(Q)$ -generico sobre $M$ ya no es gratis. El estudio de esta situación conduce a lo que ahora llamamos las condiciones maestras de Silver.