Independencia lineal y Producto Interior Espacios

Question

Deje $S=\{v_1,v_2,\dots,v_n\}$ ser un subconjunto linealmente independiente de un producto interior espacio de $V$, e $w \in V$ donde $w$ es ortogonal a cada vector en $S$. Demostrar, utilizando sólo la definición de independencia lineal, ortogonal de vectores y el producto interior espacio axiomas $S\cup\{w\}$ es también linealmente independiente.

No estoy muy seguro de cómo combinar la definición de independencia lineal, ortogonal de vectores y el producto interior espacio de axiomas para mostrar que $S\cup\{w\}$ es también Linealmente Independiente.

Answer 1

Supongamos que $c_1v_1+\dotsb+c_nv_n+c_{n+1}w=0$ para algunos escalares $c_i$. Tomar el producto interior del lado izquierdo y lado derecho con $w$ y utilice el hecho de $w$ es ortogonal a cada vector en $S$ a deducir que $c_{n+1}=0$. Por último, utilice el hecho de que el $\{v_i\}$ forman un conjunto linealmente independiente de deducir que $c_i=0$$1\leq i\leq n$.

Answer 2

Supongamos que

$$w=\sum_{k=1}^n a_kv_k\implies\,\forall\,j\;,\;\;1\le j\le n\;:$$

$$0\stackrel{\text{given}}=\left\langle\,w,v_j\,\right\rangle=\sum_{k=1}^n a_k\langle v_k,v_j\rangle=a_k\langle v_j,v_j\rangle\implies a_k=0$$

desde $\;v_1,...,v_n\;$ l.yo.

Rellene todos los datos, en particular: ¿por qué el de arriba lo suficiente?