$$ y = \frac{ax+b}{cx+d} \Longleftrightarrow x = \frac{dy-b}{-cy+a}, ad-bc \ne 0 $$ en el otro lado $$ \left( \begin{array}{cc} a & b \\ c & d \\ \end{array} \right)^{-1} = \frac{1}{ad-bc} \left( \begin{array}{cc} d & -b \\ -c & a \\ \end{array} \right), ad-bc \ne 0 $$ Esto se ve increíble para mí. ¿Hay algún significado para esta conexión entre las funciones racionales y las matrices? Puede ser generalizada para las matrices de los grados superiores?
Respuesta
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Vamos a decir que cuando $A$ $2\times 2$ matriz $\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\end{pmatrix}$ escribiremos $M_A(x)$ para la función racional $$ \frac{a_{11}x + a_{12}}{a_{21}x + a_{22}}.$$ Then notice that $$M_F(M_G(x)) = M_{FG}(x).$$
Es decir, para componer dos funciones de este tipo, hay que multiplicar las matrices.
(Se puede ver con sólo escribir la expresión para $M_F(M_G(x))$ y la simplificación de que hasta en la forma $\frac{ax+b}{cx+d}$, con lo cual los coeficientes de $a,b,c,d$ tendrá el derecho de los valores de $M_{FG}(x)$.)
Este tipo de correspondencia:
$$\begin{array}{ccc} 2\times2\text{ matrices} & \implies & \text{rational functions} \\ \text{matrix multiplication} & \implies & \text{function composition} \end{array}$$
se llama un homomorphism. Grupo de teoría nos dice que si hay un homomorphism desde el grupo de $2\times 2$ matrices para el grupo de funciones como hay aquí, entonces los dos grupos de elementos de identidad y de la recíproca también debe corresponder. En este caso, significa que la función identity $f(x) = x$ le corresponden a la matriz de identidad $\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}$, y la inversa de una función $M_A(x)$ será la función de $M_{A^{-1}}(x)$, que es su observación.
No sé si hay algún correspondiente homomorphism entre las funciones racionales y las matrices de orden superior; sospecho que no sería muy difícil de probar. (Para una cosa, el conjunto de funciones de $x\mapsto \frac{ax+b}{cx+d}$ es cerrado bajo la composición, pero esto no es cierto en mayor grado las funciones racionales.) Sería suficiente para descartar esta correspondencia para $3\times 3$ matrices, puesto que el $n\times n$ matrices para $n>3$ contienen el $n=3$ matrices como un caso especial. Así que todo lo que uno necesita hacer es encontrar algunos algebraica de la propiedad de $3\times 3$ matrices que no puede ser reflejado en el grupo de funciones.
(El siguiente párrafo es dar algunas palabras clave para buscar si usted está interesado en la búsqueda de esto en más detalle.)
Las funciones racionales $x\mapsto \frac{ax+b}{cx+d}$ se denominan transformaciones de Möbius. Esta relación entre las transformaciones de Möbius y la $2\times 2$ matrices es bien conocida. El grupo de transformaciones de Möbius tiene el curioso nombre de $PGL(2,K)$ donde $K$ $\Bbb R$ si se consideran las funciones de un argumento real, y $\Bbb C$ si se consideran las funciones de un argumento complejo. (En general $K$ puede ser cualquier sistema en el que la expresión $\frac{ax+b}{cx+d}$ tiene sentido; dicho sistema se denomina campo.) El "$2$" se refiere aquí al hecho de que las matrices son matrices cuadradas de rango 2. El $PGL(2, K)$ de los grupos están bien estudiados y $PGL(2, \Bbb C)$, en particular, es de gran importancia en el análisis complejo y la física matemática. Su pregunta acerca de las matrices de rango superior, poner en el lenguaje de la teoría de grupo, parece ser acerca de $PGL(n, \Bbb R)$$n≥3$. Veo que el artículo de Wikipedia sobre el PGL grupos menciona la correspondencia entre el $PGL(2, K)$ y el racional de las funciones lineales, y que la página de transformaciones de Möbius menciona también, pero ni el lugar menciona análogos correspondencia con los de mayor rango $PGL(n,K)$ grupos, lo que sugiere que ninguno se conoce, o que sólo aparece en una manera muy abstracta.
