límite de una débilmente convergente secuencia en espacios de Banach

Question

Considere la posibilidad de $X$ un espacio de Banach. Para algunos secuencia $x_n\in X$, asumir que por cada $f\in X^*$, $f(x_n)\to c_f$. ¿Esto implica que $\exists x\in X$ donde $c_f = f(x)$? Cómo se podría ir sobre la búsqueda de un $x$? (Que claramente no es el límite de $x_n$ ya que no hay garantías sobre el fuerte de convergencia.)

Gracias!

Answer 1

En general, el límite de $f \mapsto c_f$ sólo será un elemento de la bidual $X^{\ast\ast}$.

Si además asumimos que $X$ es reflexiva (es decir,$X=X^{\ast\ast}$, el cual es entendido como el mapa de $X \to X^{\ast\ast}, f \mapsto (g \mapsto g(f))$ surjective), entonces se puede concluir que el límite se encuentra en $X$.

EDIT: Como ejemplo que, en general, el límite no está dada por un elemento de a $X$, considere el caso de $X = c_0 (\Bbb{N})$ (el espacio de secuencias nulas) y la secuencia de $x_n = (1,\dots,1,0,\dots)$, donde el primer $n$ entradas $1$.

A continuación, $X^\ast = \ell^1 (\Bbb{N})$ (con la habitual identificaciones) y es fácil ver que $f(x_n) = \sum_{m=1}^n f_m \to \sum_{m=1}^\infty f_m$ todos los $f = (f_n)_n \in \ell^1$.

El "límite" es aquí dada por la secuencia de $(1,\dots)$, que no es en $c_0$ (pero en $X^{\ast\ast} = \ell^\infty$). Usted también puede tratar de mostrar directamente que $\ell^1 \to \Bbb{C}, f \mapsto \sum_{m=1}^\infty f_m$ no se ha dado por $f \mapsto f(x)$ algunos $x \in c_0$.