generalizada Cociente de Rayleigh

Question

Si $M$ es positiva definida, $H$ es auto-adjunto. Ahora, considere el problema de minimización:$$\min_{x\neq 0}\frac{(x,Hx)}{(x,Mx)}.$$ Tenga en cuenta que este funcional es homogénea de grado 0. Así que podemos buscar el mínimo en la constitucion de la esfera. Y debido a la continuidad de la funcional y que la unidad de la esfera de un número finito de dimensiones del espacio es compacto. Podemos encontrar una solución a $f$, y por otras de cálculo(método variacional), podemos demostrar que $f$ satisface:$$Hf=bMf,\qquad \hbox{where $b=\frac{(f,Hf)}{(f,Mf)}$}.$$ Now here's my question. Continue to search the minimum in the subspace $\{y:(y,Mf)=0\}$. By the same continuity and compactness argument, the solution exists. Denote it $g$, i.e.$$\min_{y\neq 0, \ (y,Mf)=0}\frac{(y,Hy)}{(y,My)}=\frac{(g,Hg)}{(g,Mg)}$$ ¿Cómo puedo demostrar que $g$ satisface $$Hg=cMg\qquad \hbox{where $c=\frac{(g,Hg)}{(g,Mg)}$}?$$

Es, probablemente, bastante simple... yo podría pensar que es demasiado complicado. Quien me puede dar una pista?

Me he dado cuenta de que uno siempre puede cambiar este tipo de generalizada Cociente de Rayleigh de vuelta a la norma Cociente de Rayleigh. Cambiando de nuevo y usando lo que ya ha sido establecido sobre la relación entre minimizar el Cociente de Rayleigh y el vector propio de una Hermitian (si en un caso real, simétrica), que pueda derivar de la necesaria igualdad. Pero parece que me estoy tomando un desvío. ¿Hay alguna manera para que sea más sencillo?

Answer 1

Encontrar un Cholesky tipo de descomposición de $M$ $$ M = L L^T $$ Para nuestro propósito, no importa que $L$ es menor de forma triangular, de cualquier descomposición va a hacer. Tomar $$ E = \left( L^T \right)^{-1}, $ $ , de modo que $$ E^T M E = I, $$ y $$ M = \left( E^T \right)^{-1} E^{-1}. $$ Escribe tu cociente de Rayleigh como $$ \frac{x^T H x}{x^T M x} $$ para los vectores columna $x.$ Ahora, hacer el (invertible) sustitución $$ x = E z, $$ el cociente se convierte en $$ \frac{z^T E^T H E z}{z^T E^T M E z} = \frac{z^T (E^T H E) z}{z^T z} $$ Así, definir $$ G = E^T H E $$ y tenemos $$ \frac{x^T H x}{x^T M x} = \frac{z^T G z}{z^T z} $$ por lo que estamos preguntando acerca de los vectores propios de a $G,$ que son pares ortogonal, llamarlos $z_j$. Si tomamos la primera óptimo, se $z_1,$ su $$ f = E z_1. $$ Quería siguiente tiene $$ g^T M f = 0. $$ However, if we simply take $$ g = E z_2, $$ entonces $$ g^T M f = z_2^T E^T \left( E^T \right)^{-1} E^{-1} E z_1 = z_2^T z_1 = 0. $$

Answer 2

El argumento continúa utilizando el mismo método variacional modificada con respecto a la serie de variaciones admisibles. Denotar $$A = \left\{y:\left(y,Mf\right)=0 \right\}$$ Ahora para la admisibilidad de una variación $y\in A$ la declaración de que $g$ da la relación de un mínimo se expresa como sigue: $$\frac{\left(g+\epsilon y,H(g+\epsilon y)\right)}{\left(g+\epsilon y,M(g+\epsilon y)\right)}>c$$ $$\left(g+\epsilon y,H(g+\epsilon y)\right)-с\left(g+\epsilon y,M(g+\epsilon y)\right)>0$$ Ahora tenemos que asegurarnos de escape de toda la $A$ en el siguiente argumento. Una construcción sencilla que es sugerido por el Gramo-Smidt orthogonalization proceso, es decir, vamos a $$y=h-(h,Mf)f$$ con la normalización de la condición de $(f,Mf)=1$. De hecho $$(y,Mf)=(h,Mf)-(h,Mf)(f,Mf)=0$$ La expansión, por ejemplo, la expresión del numerador, teniendo en cuenta que $H$ es auto-adjunto, obtenemos: $$\left(g+\epsilon y,H(g+\epsilon y)\right)=(g,Hg)+2\epsilon (y,Hg)+\epsilon^2(h,h)=c(g,Mg)+2\epsilon(y,Hg)+\epsilon^2(y,Hy)$$ Ahora $$(y,Hg)=(h,Hg)-(f,Hg)(y,Mf)=(h,Hg)$$ La realización de la misma para el denominador y restando: $$\left(g+\epsilon y,H(g+\epsilon y)\right)-с\left(g+\epsilon y,M(g+\epsilon y)\right)=2\epsilon\left( (h,Hg-cMg)\right)+\epsilon^2\left((y,Hy)-c(y,My)\right)$$ Desde $h$ es ahora rangos de $X$, la única manera para que el lado derecho de ser positivo es para $$Hg=cMg$$ para celebrar.

Nota: El argumento anterior puede hacerse un poco más conciso si el producto escalar en $X$ es redefinido en términos de si $M$ $\left<x,y\right>=(x,My)$