El complemento de los racionales tiene el interior vacío

Question

Esta pregunta se refiere a Cómo demostrar el cierre de $\mathbb{Q}$ es $\mathbb{R}$

Quiero demostrar que el cierre de $\mathbb{Q}$ es $\mathbb{R}$ . Estoy tratando de entender la respuesta aceptada, pero cuando se trata de "Esto demuestra que el complemento de $\mathbb{Q}$ tiene el interior vacío, por lo que el cierre de $\mathbb{Q}$ es todo $\mathbb{R}$ .", me quedo atascado.

¿Qué significa intuitivamente que un conjunto tenga el interior vacío?

Lo que sé es que un punto es interior a un conjunto cuando es el centro de alguna bola abierta dentro de ese conjunto. En ese sentido, que un conjunto tenga el interior vacío significaría que no tiene puntos interiores. Además, el conjunto de todos sus puntos adherentes -un punto $m$ es adherente al conjunto de los racionales cuando existe una secuencia de puntos racionales $x_k$ tal que $limx_k = m.$ Siendo así, el complemento de los racionales no tendría puntos interiores.

¿Cómo se deduce de esto que el cierre de $\mathbb{Q}$ es $\mathbb{R}$ ?

Gracias de antemano.

Answer 1

¿Cómo se deduce de esto que el cierre de $\mathbb{Q}$ es $\mathbb{R}$ ?

Tome $x \in \mathbb{R}$ . Desde $\mathbb{R}\ - \mathbb{Q}$ tiene el interior vacío, se deduce que $x \notin int(\mathbb{R} - \mathbb{Q})$ . Esto significa que, para todos los $r > 0$ la pelota $B(x,r)$ centrado en $x$ con radio $r$ no está contenida en $\mathbb{R}\ - \mathbb{Q}$ . Por lo tanto, hay un $q \in \mathbb{Q}$ tal que $q \in B(x,r)$ . En otras palabras, $x$ está en el cierre de $\mathbb{Q}$ . Desde $x$ es arbritaria, $\overline{\mathbb{Q}} = \mathbb{R}$ .

Answer 2

Esto depende en gran medida de la topología del espacio en el que te encuentres. Como ha señalado copper.hat, un conjunto en un espacio topológico tiene el interior vacío si no contiene ningún conjunto abierto. Recordemos que en $\mathbb{R}$ los conjuntos abiertos son generados por intervalos abiertos de la forma $(a,b) = \{x \in \mathbb{R} \; | \; a <x < b\}$ . Así que el complemento de los racionales, que podemos denotar $\mathbb{R}\setminus \mathbb{Q}$ , no contiene ningún intervalo. Se puede demostrar esto demostrando que una bola alrededor de cualquier punto irracional debe contener un elemento racional.

Answer 3

Todo número real puede ser aproximado arbitrariamente por números racionales; ésta es la base de la notación decimal. Ahora, para un conjunto abierto contenido en el complemento de $\Bbb Q$ sus elementos por definición no puede aproximarse arbitrariamente por medio de números racionales. Por lo tanto, dicho conjunto está vacío QED.

Answer 4

En cualquier espacio topológico $X$ para cualquier subconjunto $A$ de $X$ El interior de $A$ es la unión de todos los subconjuntos abiertos contenidos en $A$ y el cierre de $A$ es la intersección de todos los subconjuntos cerrados que contienen $A$ . Esta no es la definición de interior y cierre, pero estas caracterizaciones se deducen fácilmente de las definiciones. (Y cada una de las dos proposiciones se deduce de la otra, también, tomando complementos). En particular, se deduce que $A$ es denso en $X$ si y sólo si el complemento de $A$ tiene el interior vacío. (La primera condición significa que $X$ es el único subconjunto cerrado que contiene $A$ ; mirando a los complementos, esto es lo mismo que: el único subconjunto abierto contenido en el complemento de $A$ es el conjunto vacío).

Nótese que todo esto es válido en cualquier espacio topológico, no sólo en los espacios métricos. No se requiere ninguna hipótesis sobre $X$ o en $A$ .

Answer 5

Una vecindad de un punto $x$ en $\mathbb{R}$ es un intervalo abierto, $(x- \epsilon _1 , x+ \epsilon _2 )$ .

si $x$ es un punto interior de un conjunto $S \subseteq \mathbb{R}$ , entonces x tiene una vecindad de ese sabor, que está contenida en $S$ .

si un conjunto no tiene ningún punto interior, entonces, dado cualquier punto del conjunto, no se puede encontrar un intervalo abierto $(x-\epsilon , x+\epsilon)$ que está contenido en el conjunto

En otras palabras, si un subconjunto de $\mathbb{R}$ tiene el interior vacío, entonces no tiene ningún subconjunto que sea un intervalo