¿Cómo se calculan las $\lim_{n\to\infty}n((1+\frac{1}{n})^n-e)$?

Question

Lo he pensado acerca de esto es:

1. podemos utilizar L'Hopstal la regla para calcular el $\lim_{n\to\infty}\frac{((1+\frac{1}{n})^n-e)}{\frac{1}{n}}$, tanto en el numerador y el denominador tiende a 0 como n tiende a infinito. Pero el cálculo de la derivada de $(1+1/n)^n$ parece ser muy complicado.

2. Utilizando la serie de Taylor para calcular el dominante en términos de $(1+1/n)^n$, pero no estoy realmente seguro de si tiene sentido dejar que las $"n=\infty"$. Equivalentemente, tal vez podamos expandir$(1+x)^{1/x}$$x=0$, pero no se define.

Tal vez yo no estaba en el camino correcto. Incluso si la solución utiliza un enfoque diferente, quiero amor para saber cómo expandir $(1+x)^{1/x}$. Gracias por cualquier sugerencia.

Answer 1

sugerencia

$$f (x)=(1+x)^\frac 1x=e^{\frac {1}{x}\ln (1+x)} $$

$$\ln (1+x)=x-\frac {x^2}{2}(1+\epsilon (x)) $$

$$f (x)=e.e^{-\frac {x}{2}(1+\epsilon (x))} $$

$$=e\Bigl (1-\frac {x}{2}(1+\epsilon (x)\Bigr)$$

El límite será de $$-\frac {e}{2} $$