La ecuación diferencial combinado con la ecuación parece simple

Question

La ecuación es $$f'(x)=cf(x/2)$$.

El problema surge cuando estoy tratando de lidiar con un parcial de sincronización de la ecuación de $$u_{t}(x,t)=u_{xx}(x,t/2)$$.

Ya sea usando separación de variables: $$u(x,t)=X(x)T(t)\rightarrow X(x)T'(t)=X''(x)T(t/2)$$ de modo que $$X''(x)-cX(x)=0, T'(t)-cT(t/2)=0$$ o haciendo la transformada de Fourier: $$\hat{u}_t(s,t)+s^2\hat{u}(s,t/2)=0$$

finalmente redueces el problema a solucionar $$f'(x)=cf(x/2)$$.

Pero la ecuación no parece fácil de resolver. Sólo puedo probar la existencia de soluciones mediante el método de Euler. La simulación numérica se parece a

La otra función que se trazan para la comparación es la función exponencial.

Hace una solución de forma cerrada existen a la ecuación? Si no, ¿cómo podemos resolver el original de la PDE?

Answer 1

Para encontrar la solución analítica, se puede usar un poder de expansión de la serie en torno a $x=0$ en la forma habitual: $$ 0 = f'(x) - c f(x/2) = \sum_{n=0}^{\infty} \left( f^{(n+1)}(0)-\frac{c}{2^n}f^{(n)}(0) \right) \frac{x^n}{n!}, $$ y, a continuación, igualando los coeficientes de da $$ f^{(n+1)}(0)=\frac{c}{2^n}f^{(n)}(0). $$ Es entonces fácil de demostrar por inducción que $$ f^{(n)}(0) = \frac{c^n}{2^{1+2+3+\dotsb+(n-1)}} f(0) = \frac{c^n}{2^{n(n-1)/2}} f(0), $$ así $$ f(x) = f(0) \sum_{n=0}^{\infty} \frac{c^n}{2^{n(n+1)/2}} \frac{x^n}{n!}. $$

Answer 2

Usted puede demostrar muy fácilmente que $f$ es una función completa. En efecto, mediante la adopción de un arbitrario $ K>0$, y el establecimiento $M_n=\|f^{(n)}\|_{\infty, [-K,K]}$, mediante la diferenciación de la ecuación n veces, se obtiene la relación $M_n \leq \frac{c}{2^{n-1}}M_{n-1}$ para todos los enteros positivos $n$. Esta desigualdad de los rendimientos de $M_n \leq \frac{c^n}{2^{\frac{n(n-1)}{2}}}M_0$. Esto demuestra que $M_n$ converge a$0$, por lo que mediante el uso de taylor estimaciones, $f$ es todo.

Ahora la escritura :

\begin{equation*} f(x) = \sum_{k=0}^{\infty} a_k x^k \end{ecuación*}

Obtenemos sustituyendo en la ecuación: \begin{equation*} \sum_{k=0}^{\infty}(k+1) a_{k+1}x^k = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{c}{2^k} x^k \end{ecuación*}

Que los rendimientos de $a_{k+1} = \frac{c}{k+1}\cdot\frac{a_k}{2^k}$. Por lo tanto, $a_k= \frac{c^k}{k!} \cdot \frac{f(0)}{2^{\frac{k(k-1}{2}}}$. Lo que le da la función que usted está buscando.