Cómo demostrar esta identidad que involucra la serie $\sum_{m=1}^\infty \frac{\sin m\theta}{\sinh m u}$?

Question

En los Métodos de la Física Matemática por Jeffreys y Jeffreys, yo lo he encontrado absolutamente fascinante ejercicio (que es de la Cambridge Matemática Tripos de 1938):

Expresando $\sin m\theta$ $\sinh mu$ en términos exponenciales, probar la identidad

$$ \sum_{m=1}^\infty \frac{\sin m\theta}{\sinh m u}=\sum_{n=1}^\infty \frac{\sin\theta}{\cosh(2n-1)u-\cos\theta} \quad(u>0,\theta\text{ real}). $$

(p. 55 de la 3ª edición)

Como nunca he encontrado a la serie antes, esta es una que me ha dado bastante dificultad. Yo la mitad de la sospecha de que existe algún truco que involucra la serie geométrica que he echado de menos. Pero incluso después de mucho trasteo me parece que no puede descifrarlo. Cualquier ayuda sería muy apreciada.

Answer 1

Deje $S$ ser la suma, entonces

$$S = \Im \left(\sum _{m = 1}^{\infty }\frac{2}{{e}^{m u}} \cdot \frac{{e}^{i m {\theta}}}{1-{e}^{{-2} m u}}\right) = \Im \left(\sum _{m = 1}^{\infty } \frac{2}{{e}^{m u}} {e}^{i m {\theta}} \sum _{n = 0}^{\infty } {e}^{{-2} n m u}\right) = 2 \Im \left(\sum _{n = 0}^{\infty } \sum _{m = 1}^{\infty } {e}^{i m {\theta}-\left(2 n+1\right) m u}\right)$$

Por lo tanto

$$S = 2 \Im \left(\sum _{n = 0}^{\infty } \frac{{e}^{i {\theta}-\left(2 n+1\right) u}}{1-{e}^{i {\theta}-\left(2 n+1\right) u}}\right) = 2 \Im \left(\sum _{n = 0}^{\infty } \frac{{e}^{i {\theta}-\left(2 n+1\right) u} \left(1-{e}^{{-i} {\theta}-\left(2 n+1\right) u}\right)}{1-2 \cos \left({\theta}\right) {e}^{{-\left(2 n+1\right)} u}+{e}^{{-2} \left(2 n+1\right) u}}\right)$$

Por lo tanto

$$S = 2 \sum _{n = 0}^{\infty } \frac{\sin \left({\theta}\right) {e}^{{-\left(2 n+1\right)} u}}{1-2 \cos \left({\theta}\right) {e}^{{-\left(2 n+1\right)} u}+{e}^{{-2} \left(2 n+1\right) u}} = \sum _{n = 0}^{\infty } \frac{\sin \left({\theta}\right)}{\cosh \left(2 n+1\right) u-\cos \left({\theta}\right)}$$