Pasos para probar o refutar si dos anillos son isomórficos

Question

Así que estoy luchando en cómo probar si dos anillos no son isomórficos entre sí. Mi profesor me dijo que si un anillo no es isomórfico para el otro, la mejor manera de probar que esto es cierto es encontrar una propiedad preservada de isomorfismos que no se sostiene. Así que consideré lo siguiente: 1.Q y R (cocientes y racionales)

2. $Z_4 \times Z_4$ y $Z_{16}$ (Z mod 4 cross Z mod 4 y Z mod 16)

No puedo pensar en ninguna de las propiedades: comunicativa, identidad, dominio integral y propiedad de campo que no se sostiene por los anillos. Mi profesor me dijo que esto no es suficiente para dar un ejemplo de cartografía como F: Q -> R y mostrar que no es isomorfo. Por lo tanto, ¿cómo puedo mostrar que estos dos problemas por encima de no ser isomórficos?

¿Alguien puede darme algunos pasos finitos para probar si algo es isomorfo a algo o no?

Answer 1

SUGERENCIA: $Z_{16}$ tiene un elemento de orden aditivo $16$ . Hace $\Bbb Z_4\times\Bbb Z_4$ ?

Añadido: No hay que limitar la atención a las "grandes" propiedades, como la conmutatividad o el hecho de ser un dominio integral; a menudo las diferencias sólo se encuentran a un nivel más detallado.

Answer 2

1.

Los racionales $\mathbb Q$ y los reales $\mathbb R$ no son isomorfas porque no tienen la misma cardinalidad.

Si quieres una razón algebraica, hay un elemento $u \in \mathbb R$ tal que $u^2=2$ pero no hay tal elemento en $\mathbb Q$ .

De hecho, todo homomorfismo de anillo $\mathbb Q \to \mathbb R$ debe ser la inclusión, por lo que no puede ser suryectiva.

2.

Consideremos los idempotentes de cada anillo, es decir, las soluciones de $x^2=x$ .

Los idempotentes de $\mathbb Z_{16}$ son $0$ y $1$ pero hay al menos $4$ idempotentes en $\mathbb Z_{4}\times \mathbb Z_{4}$ , a saber $(0,0), (1,0), (0,1), (1,1)$ .

Answer 3

En cuanto a tu última pregunta, no: no existe una rutina general que funcione siempre en un número finito de pasos para decidir si dos anillos son isomorfos. En tu etapa, probablemente te beneficiarás más de los consejos de Brian M. Scott sobre cómo abordar el problema específico que has planteado. Pero tu pregunta final tiene sentido, y su respuesta es no.