Encontrar todos los $A,B$ tal que $AB-BA=0$.

Question

Alguien puede darme una pista de cómo buscar todos los $n\times n$ matrices $A,B$ a través de un campo arbitrario, que viajan, es decir, que los $AB=BA$ ?

He encontrado este problema en algunas conferencias a las notas donde la traza de una matriz se discutió, por lo que mi conjetura es que yo uso, pero no tengo idea de cómo (aunque sé que $tr(AB)=tr(BA)$). Manualmente escribiendo esto y tratar de resolver un gran sistema, simplemente no me parece una buena estrategia.

Answer 1

Puede utilizar la siguiente condición necesaria para ayudar a su búsqueda:

Tomar la clausura algebraica $\overline{\mathbb{F}}$ de un campo determinado $\mathbb{F}$. Si $A$ $B$ viaje, a continuación, $A$ $B$ son simultáneamente triangularizable en ${\mathbf{M}_{n}}(\overline{\mathbb{F}})$.

Answer 2

Usted puede transformar $A$ en la forma normal de Jordan, escribir $B$ en forma de bloque similar a $A$, multiplicar los bloques etc. Este método de solución de ecuaciones de matrices se describe en detailly

F. Gantmacher. La teoría de matrices, AMS Chelsea publicación, 1959.