¿Cómo encontrar los límites mediante el cambio de variables?

Question

En el sistema educativo de mi país, en Matemáticas no tenemos derecho a utilizar la regla de L'Hopital para resolver los límites de las formas indeterminadas para este año.

En su lugar, utilizamos diferentes técnicas, como la expansión de expresiones y, recientemente, utilizamos el cambio de variable para calcular los límites de diferentes funciones que tienen $ln$ o $e^x$ en ellos .

Para $\ln$ conocemos los siguientes límites, no necesitamos probarlos :

$$\lim_{x\to\infty} \ln x/x = 0^+$$

$$\lim_{x\to 0}\ln (x+1)/x = 1 $$

$$\lim_{x\to\0} \ln (x)x = 0^-$$

Entonces, siempre que tengamos un límite con ln que arroje una forma indeterminada utilizamos el cambio de variable para obtener un límite que sea similar a uno de estos 3 límites .

Ejemplo:

Por ejemplo, tenemos que calcular el siguiente límite :

$$\lim_{x\to-\infty} \frac{x}{\ln|x|}$$

Para este obtenemos una forma indeterminada, necesito utilizar el cambio de variable para intentar obtener un límite que sea similar a uno de los 3 límites anteriores, vamos :

$t = -x <-> x = -t$ entonces tendríamos lo siguiente :

$$\lim_{t\to\infty} \frac{-t}{\ln(t)}$$

$$\lim_{t\to\infty} \frac{-1}{\frac{\ln(t)}{t}} = -\infty$$

Como se puede ver en el denominador obtuvimos la expresión como la primera expresión límite, entonces puedo resolverla fácilmente .

El problema:

Mi problema, es que soy muy malo en el cambio de variable, no puedo encontrar cual se adaptaría al problema ya que tengo muy pocas habilidades de álgebra .

Aquí hay algunos límites que no pude encontrar una manera de resolver utilizando este método :

$$\lim_{x\to0^+} \frac{\ln(x+1)}{\sqrt{x}} $$

$$\lim_{x\to\infty} \frac{\ln(x)^2}{x}$$

Entonces, ¿cómo puedo resolver estos límites con el método que he descrito?

¿Cómo puedo encontrar la forma correcta de cambiar una variable para un límite complicado dado? ¿Hay alguna manera de seguir?

Nota: Como se ha señalado anteriormente, no puedo utilizar la Regla de L'Hospital para esta o cualquier otra técnica, excepto el cambio de variables .

Answer 1

Para el primer límite, creo que hay que dividirlo así: $$\lim_{x \to 0} \frac{\ln(x+1)}{\sqrt x}=\lim_{x \to 0} \sqrt x\frac{\ln(x+1)}{x}$$ Sabemos que como $x \to 0$ tenemos $\sqrt x \to 0$ y de sus límites dados, $\frac{\ln(x+1)}{x} \to 1$ , por lo que obtenemos $0\cdot 1=0$ .

Para el segundo límite, creo que deberíamos hacer $x=t^2$ para conseguir $x^2$ en la parte inferior. De esta manera, hay un cuadrado tanto en el numerador como en el denominador: $$\lim_{t \to \infty} \frac{\ln^2(t^2)}{t^2}=\frac{(2\ln(t))^2}{t^2}=4\left(\frac{\ln(t)}{t}\right)^2$$ Por sus límites dados, tenemos $\frac{\ln(t)}{t} \to 0$ Así que elevando al cuadrado y multiplicando por $4$ obtenemos que el valor del límite es $0$ .