Distancia de un punto a una recta en el plano hiperbólico

Question

Tengo dos preguntas:

1. ¿Cuál es la distancia de un punto a una recta en el plano hiperbólico?

2. Fijar una línea $L$ en el plano hiperbólico. ¿Qué hace el conjunto de puntos de distancia $d$ de $L$ ¿se ve así?

Answer 1

No estoy muy seguro de entender la primera pregunta (depende de cómo se den los puntos, las líneas, etc). En cuanto a "lo que parece" se conoce como (sorprendentemente :)) una curva equidistante (o una hiperciclo Aunque nunca había oído ese nombre hasta hoy). El artículo enlazado tiene fotos :)

Answer 2

Me encontré con la siguiente interpretación de la métrica hiperbólica y debería responder a tus preguntas. Longitud de la curva $\gamma$ parametrizado por $t \mapsto (x(t), y(t)) \in \mathbb{R}^2$ , $t \in [0,1]$ , $y \ge 0$ en la métrica hiperbólica es: $$L[\gamma] = \int_{0}^{1} \frac{1}{y}\sqrt{\dot{x}^2 + \dot{y}^2}.$$ No es un ejercicio muy difícil demostrar que la curva más corta que une dos puntos es un semicírculo con centro en la línea $y=0$ (si $x$ -las coordenadas de ambos puntos son iguales entonces la curva más corta es la semirrecta vertical).