Campo eléctrico en una esfera con un agujero cilíndrico perforado

Question

Supongamos que se tiene una esfera de radio $R$ y una densidad de carga uniforme $\rho$ un agujero cilíndrico de radio $a$ ( $a\ll R$ ) se perfora el centro de la esfera, dejándola como una "cuenta de collar".

Me gustaría encontrar una función para el campo eléctrico (1) muy lejos de la esfera ( $r\gg R$ ) y (2) en el interior del agujero, cerca del centro del cordón $r\ll R$ .

En el caso (1), simplemente lo trato como una carga puntual y el cálculo del campo eléctrico es trivial.

Sin embargo, no sé cómo abordar la parte (2) y agradecería cualquier ayuda. La combinación de geometrías esféricas y cilíndricas parece hacer que esto sea bastante complicado. No estoy seguro de qué aproximación o simplificación hacer a partir del conocimiento de que $r\ll R$ .

¿Sería quizás correcto encontrar el campo eléctrico de (1) una esfera completa y uniformemente cargada y (2) un cilindro de densidad de carga $-\rho$ ? Sumadas, las densidades de carga darían como resultado nuestro sistema original de "cuentas", por lo que entonces puedo simplemente sumar las expresiones para el campo eléctrico. Hacer el caso (1) es bastante fácil, pero (2) no es trivial para las posiciones que no están a lo largo del eje del cilindro, pero quizás debido a nuestra condición de que $r\ll R$ y $a\ll R$ podemos suponer que el campo del cilindro a lo largo del $z$ -es una aproximación suficientemente buena.

Answer 1

Estoy de acuerdo con el resultado, pero me gustaría explicar otro enfoque más general y rápido. Debido a que el radio del agujero es despreciable con respecto al radio de la esfera, y la única dirección posible para E compatible con la simetría es el eje z, y finalmente teniendo en cuenta que las componentes tangenciales de E son continuas, la solución es exactamente la misma que obtenemos cuando sólo consideramos la esfera con una distribución de carga uniforme.

Answer 2

Para un cilindro:

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$$dV=\pi a^2dr\\dq=\rho dV=\rho\pi a^2dr\\dE=Kdq/r^2=K\rho\pi a^2dr/r^2\\E=\int dE=K\rho\pi a^2\int_{r_0}^{r_0+l} dr/r^2=\frac{K\rho\pi a^2l}{r_0(r_0+l)}$$

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En caso de que dentro de ella como en la figura el campo debido a $R-x$ El campo de la longitud del cilindro se anula con otro similar en el lado opuesto, por lo que el campo resultante es

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$$E=\frac{K\rho\pi a^2l}{r_0(r_0+l)} =\frac{K\rho\pi a^2(2x)}{(R-x)({R-x}+2x)}\\ =\frac{2K\rho\pi a^2x}{R^2-x^2} =\frac{2K\rho\pi a^2x}{R^2\left(1-\frac{x^2}{R^2}\right)} \approx\frac{2K\rho\pi a^2x}{R^2} \text{ as } x\ll R\\ =\frac{\rho a^2x}{2\epsilon_0R^2}$$

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Y para la esfera:

$$\large E=\begin{cases} \frac{\rho x}{3\epsilon_0}\;0\le x\le R \\\frac{\rho R^3}{3\epsilon_0 x^2}\;x\ge R \end{cases}$$

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Ahora $E$ se puede calcular fácilmente

$$E_{out}= \frac{\rho R^3}{3\epsilon_0 r^2}-\frac{\rho a^2(2R)}{4\epsilon_0(r-R)(r-R+2R)}\\ =\frac{\rho R^3}{3\epsilon_0 r^2}-\frac{2\rho a^2R}{4\epsilon_0(r^2-R^2)}\\ \approx \frac{\rho R^3}{3\epsilon_0 r^2}-\frac{\rho a^2R}{2\epsilon_0r^2} \text{ as } r\gg R \\ =\frac{\rho R}{6\epsilon_0 r^2}\left[2R^2-3a^2\right] $$

Tenga en cuenta que, $\large\lim_{a\to 0}E=\frac{\rho R^3}{3\epsilon_0 r^2}$

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Igualmente

$$E_{in}=\frac{\rho x}{3\epsilon_0}-\frac{\rho a^2x}{2\epsilon_0R^2}\\ =\frac{\rho x}{6\epsilon_0}.\left[2-3\frac{a^2}{R^2}\right]$$

Aquí también, $\large\lim_{a\to 0}E=\frac{\rho x}{3\epsilon_0}$

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