Demostrar que el límite de un resumen de la función con ciertas propiedades es cero.

Question

Vamos $$F(x) = \sum_{a \leq x} f(a)$$ where $f: A \subseteq \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} $ tal que:

1. $f(a) \geq 0$ cualquier $a \in A$ y

2. $\displaystyle\sum_{a \in A} f(a) = 1$

¿Cómo puedo probar que $$\lim_{x\to -\infty} F(x) = 0\text{?}$$ I know how to do delta-epsilon proofs for limits that take $x$ hasta el infinito, pero yo no conozco a ninguna teoremas que permítanme aprovechar las dos condiciones en la función que me permite probar el siguiente límite sin tener que "pico" de la función para ver qué aspecto tiene. Mi análisis es muy oxidado.

Answer 1

Yo uso el siguiente hecho abajo, así que pensé que sería útil para probarlo primero.

Si $f:A\to\mathbb{R}$ es tal que $f(a)\geq 0$ por cada $a\in A$$\sum_{a\in A}f(a)<\infty$, $[f>0]$ (notación para $\{a\in A \mid f(a)>0\}$) es contable.

Prueba: Para cada una de las $x>0$, considerar el conjunto $[f>x]$. Tenga en cuenta que $$ \operatorname{tarjeta}([f>x])x \leq \sum_{a\in[f>x]}f(a) \leq \sum_{a\in A}f(a) < \infty. $$ Por lo tanto $[f>x]$ es finito. Por lo tanto, $[f>0] = \cup_{n\in\mathbb{N}}[f>1/n]$ es contable, ya que es una contables de la unión de conjuntos finitos. $\square$

Ahora consideramos el problema. Desde $f(a)\geq0$ todos los $a\in A$ $\sum_{a\in A}f(a)$ converge, debe convergen absolutamente. Deje $A':=\{a\in A \mid f(a)>0\}$. A continuación, $A'$ debe ser contables, de lo contrario, $\sum_{a\in A}f(a)$ divergen. Vamos a enumerar $A'=\{a_1,a_2,\ldots\}$ [gracias a Adayah para darse cuenta de un error aquí]. Ahora tenemos $$ \sum_{n=1}^\infty f(a_n) = \sum_{un\'} f(a)=\sum_{a\in A}f(a)= 1. $$ Deje $\varepsilon>0$. Desde la anterior suma converge, existe $N\in\mathbb{N}$ tal que $\sum_{n=N}^\infty f(a_n) < \varepsilon$. Entonces, cuando $x<\min_{n< N}a_n$, tenemos $$ F(x) = \sum_{a\leq x}f(a) \leq \sum_{n=N}^\infty f(a_n) < \varepsilon. $$ Esto demuestra que $\lim_{x\to-\infty}F(x)=0$. $\square$

Quiero comentar que nos encontramos en realidad no necesita $\sum_{a\in A}f(a)=1$. Sólo necesitábamos la suma converge.

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Respuesta a la versión anterior de la pregunta:

Incluso con las modificaciones, todavía parece ser algo malo. Considere la posibilidad de $A=\{0\}$$f:A\to\mathbb{R}$$f(0) = 1$. Entonces, de hecho, $f(a)\geq 0$ cualquier $a\in A$$\sum_{a\in A}f(a)=1$. Sin embargo, para todos los $x\geq 0$,$F(x)=1$. Por lo tanto,$\lim_{x\to\infty}F(x)=1$.

Answer 2

¿Qué significa decir $$ \sum_{a\,\en\,} f(a) = 1 \text{ ?} $$ Ya que cada término de esta suma es no negativo, que puede definirse así: $$ \sum_{a\,\en\,} f(a) = \sup \left\{ \sum_{a\,\en\,A_0} f(a) : A_0 \text{ es un subconjunto finito de } \right\}. $$ Así tenemos a $\forall \varepsilon>0\ \exists A_0\subseteq A\ \Big( A_0 \text{ is finite and } \sum\limits_{a\,\in\,A_0} f(a) > 1 - \varepsilon\Big).$

Desde $A_0$ es finito, tiene un miembro más grande. Entonces, cuando $x\ge\max A_0,$ hemos $$ \sum_{a\,\le\,x} f(a) \ge \sum_{a\,\en\,A_0} f(a) > 1-\varepsilon. $$ Así $$ \forall\varepsilon>0\ \exists X\in\mathbb R\ \forall x\ge X\ \sum_{a\,\le\,x} f(a) > 1- \varepsilon. $$ Que significa $$ \lim_{x\,\\,\infty} \sum_{a\,\le\, x} f(a) = 1. $$ Importante corolario: Por el mismo argumento, tenemos $$ \lim_{x\,\\,-\infty} \sum_{un\,>\,x} f(a) = 1, $$ y por lo tanto $$ \lim_{x\,\\,-\infty} \sum_{a\,\le\,x} f(a) = \lim_{x\,\\,-\infty} \left( 1 - \sum_{a\,\le\,x} f(a) \right) = 1 - 1 = 0. $$

Answer 3

Vamos $A_0=A\cap(0,+\infty)$, $a_0=\sum\limits_{a\in A_0}f(a)$, y también $$A_n=A\cap(-n,-n+1], \quad a_n=\sum_{a\in A_n}f(a), \quad \text{for }n=1,2,3\ldots.$$

A continuación, las dos condiciones implican que:

1. $F(x)$ es monótona no decreciente de la función;
2. cada una de las $a_n$ satisface $0\le a_n\le1$ todos los $n=0,1,2,3\ldots$;
3. $\sum\limits_{n=0}^{\infty}a_n=\sum\limits_{a\in A}f(a)=1$;
4. $F(-n)=\sum\limits_{a\le-n}f(a)=\sum\limits_{k=n+1}^{\infty}a_k$ todos los $n=1,2,3\ldots$.

A continuación, la secuencia $F(-1),F(-2),F(-3),\ldots,F(-n),\ldots$ es la secuencia de los restos de una serie convergente, y por lo tanto $\lim\limits_{n\to-\infty}F(n)=0$. Junto con la no disminución de comportamiento, lo que implica que $\lim\limits_{x\to-\infty}F(x)=0$.

Answer 4

Respuesta a la versión original:

Si $A$ es el conjunto de los números naturales y $f(a)=\dfrac{1}{2^a}$ entonces, el límite no es $0$.