Hay ejemplos interesantes de medial no conmutativa semigroups?

Question

Existen semigroups $S$ (escrito de forma aditiva) tales que

• $S$ es medial, lo que significa $(a+b)+(a'+b') = (a+a')+(b+b')$.
• $S$ no es conmutativa.

Ejemplo. La izquierda (y derecho) de cero semigroups son todos los medios, pero los que tienen dos o más elementos son no-conmutativa.

Suave pregunta: ¿alguien sabe de otros, más "interesante" ejemplos de medial no conmutativa semigroups?

Un par de observaciones:

1. En una arbitraria semigroup, conmutatividad implica la mediación.
2. En un magma con un elemento de identidad $0$, la mediación implica conmutatividad. En efecto:

$$a+b = (0+a)+(b+0)=(0+b)+(a+0) =b+a.$$

Por lo tanto, cada medial no conmutativa semigroup carece de un elemento de identidad.

Answer 1

Un ejemplo: semigroups con la identidad de $xy=x$ (semigroups de ceros a la izquierda).

Otro ejemplo: Vamos a $A,B$ ser arbitraria de conjuntos, $S=A\times B$ con la multiplicación $(a_1,b_1)(a_2,b_2)=(a_1,b_2)$ (rectangular de la banda).

Por otra parte, hay una descripción de medial semigroups (de manera similar a conmutativa): Cada medial semigroup es un semilattice de medial archmedean semigroups. [A. Nagy, Clases Especiales de Semigroups. Springer, 2001; Teorema 9.3].