Hoy he pensado en esto por primera vez y realmente no veo lo que está pasando. Creo que es una pregunta muy estúpida, pero realmente no lo veo.
Considere el espacio $L^{\infty}(\mathbb{R})$ con la medida de Lebesgue. De acuerdo con esto: Los duales de $l^\infty$ y $L^{\infty}$ un elemento en el dual de este espacio es una medida con signo finito $v$ que es absolutamente continua con respecto a la medida de Lebesgue.
Por el teorema de Radon - Nikodym obtenemos: $dv = fd\mu$ y entonces la propiedad de variación total acotada es equivalente a $f \in L^1$ .
Así, podemos construir una isometría entre $(L^{\infty})^*$ y $L^1$ de forma obvia para conseguir la reflexividad de $L^1$ lo cual es absurdo. Así que mi pregunta es: ¿dónde está el error?
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Esto no es una respuesta a su pregunta, sino un comentario general: teniendo un isomorfismo entre $X$ y $X^{**}$ no basta con tener reflexividad. Debe ser la incrustación canónica $x \mapsto \widehat{x}$ que es isomorfo.
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Has omitido "finitamente aditivo" en la caracterización del dual de $L^\infty$ . Estas medidas que no son contablemente aditivas corresponden a elementos del dual que no provienen de $L^1$ .
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Gracias por su respuesta. Ahora está claro. Sobre el comentario de M.G: Sí soy consciente de ello, pero aquí el problema está en otro lugar y siempre que pudiéramos aplicar el radon-nikodym tendríamos la isometría canónica.