Me gustaría saber si hay alguna manera de calcular exactamente
$$\int_{0}^{\pi/2} \frac{\cos^3 x}{\sqrt {\sin x}(1+\sin^3 x)}\,dx$$
El valor numérico es 1,52069
Respuestas
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P. Sohm
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143
Estoy seguro de que esta sustitución podría funcionar. Deje $u=\sin x$, de modo que $du=\cos xdx$. Entonces tu integrando convierte; $$\int_0^{\pi/2}\frac{\cos^2x\cos xdx}{\sqrt \sin x(1+\sin^3x)}=\int_0^{\pi/2}\frac{(1-\sin^2x)\cos xdx}{\sqrt \sin x(1+\sin^3x)}=\int_0^1\frac{(1-u^2)du}{\sqrt u(1+u^3)}$$ $$=\int_0^1\frac{(1-u)(1+u)du}{\sqrt u(1+u)(1-u+u^2)}=\int_0^1\frac{(1-u)du}{\sqrt u(1-u+u^2)}$$ Creo que en este punto se puede emplear el método de fracciones parciales para integrar. SUGERENCIA: Deje $u=v^2$, de modo que $du=2vdv$. Entonces usted tiene $$\int_0^1\frac{(1-u)du}{\sqrt u(1-u+u^2)}=\int_0^1\frac{2(1-v^2)dv}{(1-v^2+v^4)}$$ y parcial de la fracción de la siguiente manera. Creo que en este punto, el procedimiento para el parcial de la fracción es el mismo que el anterior.
Michael Hardy
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128804
Si yo estuviera en frente de un aula y un estudiante me preguntó acerca de esto, me gustaría comenzar por escribir esto: $$\int_{0}^{\pi/2} \frac{\cos^3 x}{\sqrt {\sin x}(1+\sin^3 x)}\,dx = \int_{0}^{\pi/2} \frac{\cos^2 x}{\sqrt {\sin x}(1+\sin^3 x)}{\Huge(}\cos x \;dx{\Huge)}$$ Si ellos no saben cómo interpretar eso como una sugerencia, me gustaría decirles que es lo que necesitan para trabajar.
El punto es que $$ du = \cos x\; dx, $$ por lo que se sugiere $u=\sin x$.
En la parte inferior tenemos a $\sqrt{u}(1+u^3)$. En la parte superior tenemos que cambiar la $\cos^2 x$$1-\sin^2 x$, de modo que tendremos $1-u^2$.
larryb82
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158
Después de deducir nuestros integral es igual a $$I= 2\int_0^1\frac{(1-y^2)}{(y^4-y^2+1)}\mathrm dy$$ we can finish off like this: $$ I = -2 \int^1_0 \frac{ y^2 (1 - 1/y^2) }{ y^2 (y^2-1 + 1/y^2) } dy = -2 \lim_{a\to 0^+} \int^1_a \frac{ d(y+1/y) }{(y+1/y)^2-3} =2 \int_2^{\infty} \frac{du}{u^2-3}=\frac{\ln(7+4\sqrt{3})}{\sqrt{3}}.$$
Eran Medan
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193
De Dilip Sarwate sugerencia en:
$$2\int_0^1\frac{1-y^4}{1+y^6}\mathrm dy = 2\int_0^1\frac{(1-y^2)(1+y^2)}{(1+y^2)(y^4-y^2+1)}\mathrm dy = 2\int_0^1\frac{(1-y^2)}{(y^4-y^2+1)}\mathrm dy \; .$$
El denominador se puede dividir aún más en
$$2\int_0^1\frac{(1-y^2)}{(y^4-y^2+1)}\mathrm dy = 2\int_0^1\frac{(1-y^2)}{(y^2+\sqrt{3}y+1)(y^2-\sqrt{3}y+1)}\mathrm dy \; .$$
El uso parcial de las fracciones esto se convierte en
$$2\int_0^1\frac{(1-y^2)}{(y^2-\sqrt{3}y+1)(y^2+\sqrt{3}y+1)}\mathrm dy = 2\int_0^1\frac{\frac{y}{\sqrt{3}}+\frac{1}{2}}{(y^2+\sqrt{3}y+1)}-\frac{\frac{y}{\sqrt{3}}-\frac{1}{2}}{(y^2-\sqrt{3}y+1)}\mathrm dy \; .$$
La última parte se puede reescribir como
$$\frac{1}{\sqrt{3}}\int_0^1\frac{2y+\sqrt{3}}{(y^2+\sqrt{3}y+1)}-\frac{2y-\sqrt{3}}{(y^2-\sqrt{3}y+1)}\mathrm dy \; .$$
Y puede ser fácilmente resuelto mediante la sustitución de dar como Zev Chonoles ya se mencionó en el comentario: $\frac{\ln(7+4\sqrt{3})}{\sqrt{3}}$ .
