Aprender a pensar categóricamente

Question

Hasta este punto en mi educación, me han tenido muy poca exposición a la lengua y a la maquinaria de la categoría de la teoría, y me gustaría rectificar esto. Mi meta es llegar a ser familiarizado con algunos de la norma categórica ideas; quiero ser capaz de pensar de manera categórica. ¿Cuáles son algunas de las sugerencias de la gente por la mejor manera de ir sobre esto? Sería mejor tomar las cosas en la cabeza, y leer algo como MacLane Categorías para el Trabajo Matemático? O sería mejor para el estudio de la categoría de la teoría a través de su aplicación a un cuerpo de ideas que ya estoy familiarizado con, tales como la teoría de la representación? ¿Cómo has aprendido a pensar de manera categórica?

---EDIT---

Gracias a todos por las respuestas. Para aclarar, mi interés en la categoría de teoría es más un medio que un fin, quiero tener fluidez en la comprensión y la elaboración de argumentos categóricos en otros contextos. Aunque me encantaría ser convencido de lo contrario por el momento no estoy interesado en el estudio de la categoría de la teoría en su propio derecho; algo de forma análoga a cómo uno debe estar bien versado en el lenguaje de la teoría de conjuntos, incluso si no tiene intención de estudiar establece en y de sí mismos. Gracias a sus respuestas, tengo un montón de material a la vista.

Answer 1

Estoy totalmente de no empezar por categoría de aprendizaje de la teoría abstracta; en mi experiencia, esa es una forma garantizada para aprender a odiar. Me gustaría aprender el enfoque mediante la lectura de una categoría enfocado en el tratamiento de algo que ya se entiende desde una perspectiva diferente, álgebra abstracta, la topología, la teoría de la representación, o lo que sea. Hacer los ejercicios! No aprender a pensar en forma alguna sin hacer algunas reflexiones. Después de eso, usted puede leer Mac Lane o "La Alegría de los Gatos," y si usted está tan inclinado, leer ediciones de Juan Báez de Esta Semana se Encuentra de diferentes (y en mi humilde opinión increíblemente impresionante) perspectiva categórica ideas.

Answer 2

En primer lugar, ¿por QUÉ quieres aprender categorías?

No es que yo no creo que sea una buena idea - sólo su enfoque vector será la influencia, fuertemente, lo que es un buen método consistirá. Me acerqué primero las categorías de Álgebra Homológica; y encontró a Charles Weibel, el libro de álgebra homológica - especialmente en los capítulos de introducción, donde varios diagrama de persecuciones se hacen en profundo detalle a ser muy esclarecedor.

Usted puede venir con una vista hacia la lógica, o el tipo de teoría o Ciencia de la computación. En ese caso, soy aficionado a Awodey y de Barr & Wells: Categoría de la Teoría de las Ciencias de la Computación. Especialmente Barr & Wells está repleta de informativos y ejemplos ilustrativos.

Hay más razones para aprender CT - pero estos son los que yo he sentido en mí mismo; si nos dicen más acerca de dónde vienes, vamos a tener un tiempo más fácil de dar buenas respuestas.

Answer 3

Mi propio personal de la exposición a la categoría de teoría se compone principalmente de la lectura de las siguientes entradas en el blog:

• Todo el comienzo de La Disculpa Matemático,
• Todd Trimble s series en la categoría básica de la teoría,
• Al azar semanas de Juan Báez de Esta Semana se Encuentra (por desgracia es algo difícil para la búsqueda de estas).

No voy a decir que esto es todo un sistemático o de manera integral, para aprender de la categoría de teoría, pero sí creo que hay algunos realmente buenos escribir aquí y que me ha llegado cómodo con la categoría de la teoría de la lengua, incluso si no me dicen que "sé" de la categoría de la teoría (lo que significa).

Edit: También, aunque sólo he leído el principio, Lawvere y Schanuel del Conceptual de las Matemáticas es probablemente el más simple introducción de la categoría de la teoría que he visto nunca. Creo que fue escrito para un curso de licenciatura. Para tener una idea del nivel de este texto en relación con algunos de los otros mencionados aquí, adjunto functors nunca están definidos explícitamente.

Answer 4

Estoy de acuerdo en que la lectura de MacLane no es probablemente la primera cosa que usted debe hacer para comprender la categoría de teoría. Al principio es probable que sea mejor mirar ejemplos concretos de los conceptos. Cuando me encuentro con un nuevo categórica concepto, dicen los co-productos, trato de averiguar lo que se ve en tantas categorías como sea posible (y si es que existe). La categoría más fácil de empezar es por lo general la categoría de conjuntos, pero después de eso yo creo que depende de lo que su fondo es. Entonces, ¿qué hace un discontinuo de la unión, una suma directa, una intersección y un máximo común divisor tienen todas en común? Así son todos los co-productos en alguna categoría. Dada una categoría también worthwile para averiguar si tiene sentido hablar acerca de un objeto con las propiedades deseadas. En la categoría de finito abelian grupos a los que usted no puede tomar una infinita suma directa de la no-trivial de los grupos, por lo que no tiene todos los co-productos en esta categoría. Como en el resto de las matemáticas no son ejemplos pueden ser tan esclarecedor como ejemplos (muchos, mucho más que el anterior no ejemplo).

Si usted sabe algunos de álgebra creo que trabajar con la categoría de los módulos a través de un (propiedad conmutativa) anillo puede ser muy útil, sin duda, fue para mí. Hay un montón de functors a mirar; Hom, tensor, localización, derivados de functors etc.. tiene límites y colimits, libre de objetos, adjunctions (tensor-hom, libre olvidadizo). Pensar de manera categórica acerca de los módulos también te prepara para trabajar con el general abelian categorías y álgebra homológica.

Answer 5

Sugerimos que lea el artículo introductorio de Barry Mazur "Cuando es una cosa igual a otra cosa?", encontrado aquí http://www.math.harvard.edu/~mazur/preprints/when_is_one.pdf