¿Se conoce algún límite para la diferencia entre la norma de Frobinus y la norma 2, especialmente para una matriz definida positiva?

Question

Conozco la definición de estas dos normas. Dada una matriz ${\bf A} \in \Bbb R^{n\times n}$ o $\Bbb C^{n\times n}$ , norma Frobinus $\|{\bf A}\|_F$ es simplemente la norma 2 del vector aplicada al vectorizado $\bf A$ y $\|{\bf A}\|_2=\max_{{\bf x}:\|{\bf x}\|_2=1}\|{\bf Ax}\|_2$ puede interpretarse como la máxima potencia de "estiramiento" del operador lineal $\bf A$ en el círculo unitario con respecto a la norma 2 del vector, y se puede demostrar que $\|{\bf A}\|_2=\sqrt {\max (\sigma({\bf A}^*{\bf A}))}$ donde ${\bf A}^*$ es la transposición conjugada de ${\bf A}$ y $\sigma (\cdot)$ denota el conjunto de todos los valores propios de la matriz.

Tengo curiosidad por saber si hay algún límite conocido sobre su diferencia $|\|{\bf A}\|_F-\|{\bf A}\|_2|$ . Especialmente, si $\bf A$ es positiva definida, $\|{\bf A}\|_2$ es el mayor valor propio de $\bf A$ entonces en qué situación podemos utilizar $\|{\bf A}\|_F$ para estimar $\|{\bf A}\|_2$ ¿es decir, el mayor valor propio?

Answer 1

Utilizando los dos comentarios de la pregunta, se pueden ver las dos estimaciones siguientes: \begin{align*} \|A\|_2&\|A\|_{Fr}\sqrt{n}\|A\|_2 \end{align*} La desigualdad de la derecha es obvia, la de la izquierda se deduce de:
Dejemos que $$ be any eigenvalue with corresponding normalized eigenvector $ w $, then it is $$ ||=||\|w\|=\|Aw\|¹\|A\|\|w\|=\|A\|, $$ for any ¹submultiplicative norm $ \|\ y no hay que olvidar que el problema es que no se puede hacer nada.

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Para $n=1$ se obtiene la igualdad a la izquierda.
Y para $A=\text{diag}()$ con $>0$ obtenemos la igualdad a la derecha, ya que \begin{align*} \|A\|_2 &= \\ \|A\|_{Fr}&=\sqrt{\sum_{i=1}^n^2} = \sqrt{n}=\sqrt{n}\|A\|_2 \end{align*} Por lo tanto, la estimación anterior es la mejor que podemos deducir.

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Observación: Dado que la pregunta se hizo con la etiqueta "álgebra lineal numérica", hay que tener en cuenta que los problemas de valores propios (en general) son numéricamente inestables. Esto significa que si las entradas de la matriz se perturban poco, los valores propios pueden sufrir un gran cambio. Dado que la norma de Frobenius es una medida de la perturbación de las entradas, esa inestabilidad es de interés para esta cuestión.

Podemos ver el efecto de la perturbación con la siguiente matriz $$\tilde{A}=\pmatrix{0& \\ 1 & 0}^{2×2}$$ Aquí los valores propios son $0$ para $=0$ . Para $\neq0$ son $=\pm\sqrt{}$ . Así que un pequeño error $10^{-2}$ resulta en valores propios $10^{-1}$ - que es un factor de 10.
Ahora toma el $n×n$ -matriz que tiene $1$ en la diagonal izquierda, y $$ in the top right corner: $$ \tilde{A}=\pmatrix{0&&&\\\a1&0\a} \a1&\a1\a1\a1&0}^{n×n} $$ Again all eigenvalues $ =0 $, if $ =0 $. But if $ =10^{-n} $, the result contains one eigenvalue $ =10^{-1} $ and you get an error amplification factor of $ 10^{n-1}$.
Y, como dije antes, la norma de Frobenius sólo ve el cambio $10^{-n}$ , mientras que el $2$ -norma ve el cambio del valor propio.

En general, se cumple el siguiente teorema:
Dejemos que $A^{n×n}$ sea una matriz con vectores propios $w_i$ . Y que $\tilde{A}=A+A$ sea una matriz perturbada. Entonces se cumple, con $W=(w_1,…,w_n)$ : $$|(A)-(\tilde{A})|\text{cond}_{2}(W)\|A\|.$$ Así que el condicionamiento del problema de valores propios depende del número de condición de $W$ .
Suena bastante mal, pero para las matrices hermitianas existe una base ortonormal, lo que significa que para estas matrices el problema de valores propios es estable. Para matrices arbitrarias está mal condicionado.