Preimagen de puntos singulares de suave mapa entre colectores

Question

Dado un liso ($C^{\infty}$) mapa de $\phi: V \rightarrow SU(n)$ donde $V$ es un finito (dim, real) espacio vectorial (de potencialmente muy grandes dimensiones) y $SU(n)$ es el especial unitaria Mentira grupo, ¿qué puede decirse acerca de las singularidades de este mapa?

Se sabe que la preimagen $\phi^{-1}(v)$ regular de un valor de $v$ es un submanifold de $V$. Lo que se sabe acerca de la preimagen de un valor singular? Es este también un colector en este caso? ¿Qué acerca de la preimagen de todos los puntos singulares?

¿Los valores singulares de la forma de un colector? He conocido son un conjunto null por Adrs del teorema, pero esto no usar nada en específico a $SU(n)$. ¿El objetivo del espacio $SU(n)$ nos ayudan a decir nada más acerca de los puntos singulares?

Si además sabemos que el mapa de $\phi$ es en qué afecta esto a las cosas?

Answer 1

Sólo una respuesta parcial.

Se sabe que la preimagen $ϕ^{-1}(v)$ de regular el valor de v es un submanifold de V. Lo que se conoce acerca de la preimagen de un valor singular? Es este también un colector en este caso?

Hay Transversalidad teorema, que es la generalización de un hecho conocido acerca de regular los valores que usted ha mencionado. Narasimhan en su libro "Análisis real y complejo de colectores de" unidos en la siguiente manera: donde trasversal significa: Este teorema pone adicionales condiciones en $\phi,$ pero creo que todavía es una buena.

Answer 2

No creo que el objetivo del espacio $SU(n)$ da mucha información:

Preimages de valores singulares puede ser muy desagradable. Cualquier subconjunto cerrado de $\mathbb{R}$ es el conjunto de puntos singulares de una función de $\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$. La incrustación $\mathbb{R}$ a $SU(n)$ le da desagradable subconjuntos de a $\mathbb{R}$. Esta idea se generaliza a espacios vectoriales de dimensiones superiores (aunque no creo que cualquier subconjunto cerrado es el conjunto crítico de una función suave).

Considere la función $e^{1/x} \sin(1/x)$. Los valores críticos son un conjunto null (adrs), pero no tiene un punto de acumulación $0$, por lo que no se forman de un colector.

Más información acerca de $\phi$ daremos más información sobre el conjunto crítico: por ejemplo, si $\phi:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ es Morse, sabemos que el que la crítica conjunto es discreto, y tenemos un buen modelo local de la función alrededor de sus puntos críticos.