Suma directa de la descomposición de la $L^2(\mathbb{R})$ el uso de la transformada de Fourier de

Question

Deje $L_+^2(\mathbb{R})=\{f\in L^2(\mathbb{R}):supp \hat{f}\subset\mathbb{R^+}\}$ $L_-^2(\mathbb{R})=\{f\in L^2(\mathbb{R}):supp \hat{f}\subset\mathbb{R^-}\}$ donde $\hat{f}$ denota la transformada de Fourier trans forma de $f$$\mathbb{R}$. $\mathbb{R^+}$ $\mathbb{R^-}$ respectivamente denota el conjunto de positivos y negativos reales. Entonces la necesidad de demostrar que $L^2(\mathbb{R})=L_+^2(\mathbb{R})\oplus L_- ^2(\mathbb{R})$. He observado que $L_+^2(\mathbb{R})$ $ L_- ^2(\mathbb{R})$ son ortogonales. Por favor, ayúdame a romper $f=f_1+f_2$ donde $f_1\in L_+^2(\mathbb{R})$ $f_2\in L_-^2(\mathbb{R})$

Answer 1

Recordemos que la transformada de fourier es un isomorfismo isométrico $\def\F{\mathscr F}\F \colon L^2(\def\R{\mathbf R}\R) \to L^2(\R)$. Para un subconjunto $A \subseteq \R$ deje $\chi_A$ el valor de su función característica. Dado $f \in L^2(\R)$, definir $$ f_1 = \F^{-1}\bigl(\chi_{\R^+}\F f\bigr) $$ y $$ f_2 = \F^{-1}\bigl(\chi_{\R^-}\F f\bigr) $$ Como $\chi_{\R^+} + \chi_{\R^-} = 1$ casi en todas partes tenemos $f = f_1 + f_2$.