Deje $I$ ser la afirmación "existe un cardinal inaccesible".
Soy consciente de dos pruebas de la "Si $ZFC\vdash I$ $ZFC$ es incoherente".
Una prueba utiliza el Segundo Teorema de la Incompletitud, que entiendo.
La otra prueba es algo como:
1) Supongamos $ZFC\vdash I$.
2) Luego tenemos a $ZFC\vdash ^{\backprime\backprime} V_\kappa\models ZFC ^{\prime\prime}$ donde $\kappa$ es el menor cardinal inaccesible.
3) a Continuación, por el absolutismo de los resultados, tenemos $ZFC\vdash ^{\backprime\backprime}V_\kappa\models\neg I ^{\prime\prime}$.
4) por Lo tanto tenemos un modelo de $ZFC+\neg I$
Y aquí es donde esta versión de la prueba de los extremos en todas las fuentes que he encontrado.
Me preguntaba cómo el resto de la prueba debe ir a conseguir ese $ZFC$ realmente es inconsistente.
Mi idea era, es esencial utilizar el hecho de que:
(*) Si $ZFC\vdash\varphi$ $ZFC\vdash ^{\backprime\backprime}ZFC\vdash\varphi ^{\prime\prime}$ para cualquier frase,$\varphi$.
Luego para terminar:
5) Puesto que hemos asumido $ZFC\vdash I$, luego tenemos a $ZFC\vdash ^{\backprime\backprime}ZFC\vdash I ^{\prime\prime}$ (*).
6) Y desde $ZFC\vdash ^{\backprime\backprime}V_\kappa\models ZFC^{\prime\prime}$, luego tenemos a $ZFC\vdash ^{\backprime\backprime}V_\kappa\models I ^{\prime\prime}$ mediante 5).
7) Por 3), tenemos $ZFC\vdash ^{\backprime\backprime}V_\kappa\nvDash I ^{\prime\prime}$.
8) Así que desde la $ZFC\vdash ^{\backprime\backprime}V_\kappa\models I ^{\prime\prime}$$ZFC\vdash ^{\backprime\backprime}V_\kappa\nvDash I ^{\prime\prime}$, $ZFC$ es inconsistente.
Es esta la forma en que la prueba es normalmente terminado o está de alguna manera no es necesario apelar a (*)?
Cualquier ayuda es muy apreciada, gracias.
