Cálculo: $y'$ $y = x^{x^{x^{x^{x^{.^{.^{.^{\infty}}}}}}}}$ y $y = \sqrt{x+\sqrt{x+\sqrt{x+\sqrt{x+....\infty}}}}$

Question

(1) if $y = x^{x^{x^{x^{x^{.^{.^{.^{\infty}}}}}}}}$

(2) si $y = \sqrt{x+\sqrt{x+\sqrt{x+\sqrt{x+....\infty}}}}$

luego encontrar $y'$ en ambos casos

(3) Si $ y= \sqrt{tanx+\sqrt{tanx+\sqrt{tanx+\sqrt{tanx+....\infty}}}} $ y $ $ $ (2y-1)\frac{dy}{dx}$ encontrar

Answer 1

Sugerencia

1. $$ y = x^y $$
2. $$ y^2 = x + y $$

Como se mencionó en los comentarios, a resolver el primero de ellos; puede que necesite tomar un vistazo a algunas de las aplicaciones de la Función de Omega.

Answer 2

$y = x^{x^{x^{x^{{.^{.^{.^{}}}}}}}} = x^{y}$

Llevar el registro de ambos lados.

Entonces $\ln y = y \ln x$

$ \implies\frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = \ln x \frac{dy}{dx} + \frac{y}{x}$

$ \implies \frac{dy}{dx} = \frac{y^{2}}{x(1-y \ln x)}$ y entonces el substituto para $y$

Answer 3

1. $y=x^y = e^{y \log{x}}$, Tomar derivados de ambos lados:

$$y' = \left( \frac{y}{x} + y' \log{x} \right ) x^y$$

Resolver $y'$.

1. $y^2 = x+y$, Entonces produce una diferenciación implícita similar que el anterior

$$2 y \,y' = 1 + y'$$

Resolver $y'$.