Logaritmo como límite

Question

Wolfram sitio web de listas de este como un límite a la representación del logaritmo natural:

$$\ln{z} = \lim_{\omega \to \infty} \omega(z^{1/\omega} - 1)$$

Hay una rápida prueba de ello? Gracias

Answer 1

$\ln z$ es el derivado de la $t\mapsto z^t$$t=0$, por lo que $$\ln z = \lim_{h\to 0}\frac{ z^h-1}h=\lim_{\omega\to \infty} \omega(z^{1/\omega}-1).$$

Answer 2

Ha $z^{1/\omega}= \exp ( \ln(z)/\omega)= 1+ \ln(z)/\omega + o(1/\omega)$, lo $\ln(z)=\lim\limits_{\omega \to + \infty} \omega (z^{1/\omega}-1)$.