Probar que hay algo de $p\in S^1$ para el cual el ángulo entre el$p$$h(p)\in S^1$$90^{\circ}$.

Question

Estudiar para un examen me encontré con la siguiente pregunta:

Deje $S^1$ ser el círculo unidad, $h:S^1\to S^1$ una función continua que es homotópica a la función constante.

1) Demostrar que hay algo de $p\in S^1$ para el cual el ángulo entre el$p$$h(p)\in S^1$$90^{\circ}$.

2) (mi propia pregunta) ¿Para qué ángulos ($\theta\in[0,2\pi]$) no $p$ existen?

Mis pensamientos:

• Traté de construir una función que sería de ayuda cuando se utiliza Brouwer de punto fijo teorema, sin suerte hasta el momento.

• Existen funciones continuas que no cumple con los criterios, e.g $f(z)=ze^{i}$, pero no son homotópica a la función constante, ya que completa un círculo completo, por lo que es de suponer que la composición de la $h\circ g:[0,1]\to S^1$ $g:[0,2\pi]\to S^1, g(t)=e^{ti}$ no se completa un círculo (estoy en lo cierto?) pero no veo cómo puedo poner ningún límite en el grado entre un punto y su imagen...

Answer 1

Brouwer del punto fijo es una gran herramienta. Si $h\colon S^1 \rightarrow S^1$ es nulo homopotic, a continuación, puede ampliar a $H\colon B^2 \rightarrow S^1$$H\vert_{S^1} = h$. Por Brouwer del punto fijo THM, que $H$ tiene un punto fijo $x\in B^2$ tal que $H(x_0) = x_0\in S^1$, lo $x_0$ es de hecho en el círculo. Tenemos, $$1=\langle H(x_0) ,x_0 \rangle=\langle h(x_0),x_0\rangle$$

Si esto ayudó a usted, entonces usted debe dejar de leer aquí y averiguar cómo conseguir que un signo negativo para que la función $x\mapsto \langle h(x),x\rangle$.

Considere la posibilidad de $R\circ h$ $R$ rotación $\pi$ (es lineal, por lo tanto continua). Esta $R\circ h$ es obviouslly todavía null-homotpic, y nos vuelve a obtener otro $x^-$ tal que $R\circ h(x^-) = x^-$. La inversión de este, tenemos $$h(x^-)=R^{-1}\circ R\circ h(x^-)=R^{-1}(x^-)=-x^-$$ (tengo la esperanza de que esta no es demasiado confuso). De todos modos: $$-1=\langle -x^- ,x^- \rangle =\langle h(x^-),x^-\rangle$$