$x^a+y^b$ es divisible por $x^b+y^a$ para infinitas $(x,y)$

Question

Sea $a\geq b>0$ sean números enteros. Para lo cual $(a,b)$ ¿existen infinitos números enteros positivos $x\neq y$ tal que $x^a+y^b$ es divisible por $x^b+y^a$ ?

Si $a=b$ ciertamente tenemos $x^a+y^a$ divisible por sí mismo.

Para $a>b$ tal vez podamos elegir alguna forma de $(x,y)$ en términos de $(a,b)$ ?

Answer 1

Si $a$ es impar y $b=1$ y cualquier $x>1$ con $y=1$ tiene el número entero $(x^a+1)/(x+1).$ Existen otras familias de pares $(a,b)$ con algunas buenas opciones de $x$ o $y$ . Por ejemplo, sustituir $x$ arriba por $x^t$ da el par $(at,t)$ de exponentes que, al elegir $y=1$ da el número entero $(x^{at}+1)/(x^t+1).$