Acabo de empezar a Análisis Real. En el libro de texto (Análisis Real y Aplicaciones, por Davidson y Donsig) se han definido el límite de una secuencia. Estoy trabajando en uno de los ejercicios. No sugiere soluciones para cualquier pregunta, así que estoy en busca de ayuda para verificar mi trabajo asegurarme de que entiendo lo que estoy haciendo. El ejercicio es como sigue.
Calcular el límite. A continuación, el uso de $\epsilon =10^{-6}$, encontrar un entero $N$ que satisface la definición de límite. $$\lim_{n \to \infty} \frac{1}{ln(ln(n))}$$
En primer lugar, sólo quiero abordar el límite de la definición. En el texto, se define un número real $L$ como el límite de una secuencia de números reales $(a_n)^{\infty}_{n=1}$ si para cada a $\epsilon > 0$ no es un número entero $N=N(\epsilon)>0$ tal que
$$|a_n - L|< \epsilon$$
para todos los $n\geq N$. Ahora para mi interpretación informal.
Creo que la idea es que después de algún punto de la distancia entre el $a_n$ y el límite de $L$ puede hacerse arbitrariamente pequeña por la elección de una lo suficientemente grande $N$. Pero, ¿por qué no $N$ tiene que ser una función de la $\epsilon$? Cualquier aclaración de la definición se agradece.
Ahora, para el ejercicio. Sé el divisor de la fracción de la secuencia dada enfoques infinito como $n$ enfoques infinito y, como tal, la secuencia se aproxima a cero como $n$ enfoques infinito. Así que yo reclamo que $L=0$. Observo que
$$\left | \frac{1}{ln(ln(n))} - 0 \right | = \frac{1}{ln(ln(n))}$$
Así que ahora necesito un $N$ tal que, para todos los $n \geq N$, I se $|a_n - 0|<10^{-6}$. Ahora, no estoy seguro de si mis pasos son correctos. Necesito un $N$ tal que
$$\frac{1}{ln(ln(N))}<10^{-6}$$
Lo acabo de resolver para N en la igualdad, en la que los rendimientos de
$$N > e^{e^{1000000}}$$
Por lo tanto, para cualquier $n \geq N$,
$$\frac{1}{ln(ln(n))}<10^{-6}$$
Puedo encontrar el entero más cercano a $e^{e^{1000000}}$? Cualquier aclaración sería apreciada.
