Mostrar que si $\mathrm{Tr}(y)=0$ entonces existe un $x$ tal que $x^p-x=y$.

Question

Tenemos la Traza mapa definido por:

$$ \mathrm{Tr}\colon \mathbb{F}_q\rightarrow\mathbb{F}_q\colon x\mapsto x+x^p+x^{p^2}+\cdots+x^{p^{n-1}}, $$ donde $q=p^n$. Ahora tengo que demostrar que si $\mathrm{Tr}(y)=0$ entonces existe un $x\in\mathbb{F}_q$ tal que $x^p-x=y$.

No sé cómo hacer frente a este problema. Necesito una pista para empezar. Gracias.

Answer 1

Lo que usted está tratando de demostrar que a veces es llamado el aditivo versión del Teorema de Hilbert 90. Aquí está una insinuación:

Desde la traza mapa es distinto de cero (¿por qué es esto?), elija algunas de $z \in \mathbb F_q$$\operatorname{Tr}(z) \neq 0$, y analizar lo que ocurre con la suma $$ y z^p + (y+y^p)z^{p^2} + \cdots + (y+y^p + \cdots + y^{p^{n-2}}) z^{p^{n-1}} $$ cuando se golpea con la automorphism $x \mapsto x^p$.

Answer 2

Definimos $\phi(x)=x^p-x$. A continuación, $\mathrm{img} \phi\subset\ker\mathrm{Tr}$ porque $\mathrm{Tr}(x^p)=\mathrm{Tr}(x)$. Ahora si $x\in\ker\phi$, $x\in \mathbb{F}_p$ ya que esta es la definición. Por lo tanto $\ker \phi=\mathbb{F}_p$ ya que se tiene en la mayoría de las $p$ soluciones. A continuación, $\mathrm{img}\phi$ tiene al menos $p^{n}/p=p^{n-1}$ elementos. Pero $\mathrm{Tr}$ es un polinomio con grado de $p^{n-1}$, lo que en la mayoría de las $p^{n-1}$ soluciones. Podemos deducir que $\mathrm{img} \phi=\ker\mathrm{Tr}$.