Si $\lambda\leq\kappa$ son infinitos los cardenales, ¿cuántos subconjuntos de a $\kappa$ del tamaño de la $\lambda$ hay? Y de tamaño $\leq\lambda$? ¿Hay algún tipo de explicite la fórmula para este? El internet no es tan útil en este como sería de esperar (a menos que uno sabe lo que busca, supongo).
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Podemos calcular fácilmente que.
Deje $[\kappa]^\lambda$ ser la de todos los subconjuntos de a $\kappa$ de tamaño exactamente $\lambda$. Cada uno tiene un natural de pedido, por lo que es evidente que existe una inyección en ${}^\lambda\kappa$, el conjunto de todas las funciones de $\lambda$ a $\kappa$, cuya cardinalidad es exactamente $\kappa^\lambda$.
Por otro lado, cada una de las funciones de $\lambda$ $\kappa$es un subconjunto de a $\lambda\times\kappa$ de cardinalidad $\lambda$. Desde el set $\lambda\times\kappa$ tiene cardinalidad $\kappa$, esto le da una inyección en la otra dirección. Por lo tanto tenemos: $$\left|[\kappa]^\lambda\right|=\kappa^\lambda$$
Así que todos los subconjuntos de tamaño $\leq\lambda$ sería el conjunto de $$\bigcup_{\alpha<\lambda}[\kappa]^\alpha=[\kappa]^{\leq\lambda}.$$
Por supuesto, su cardinalidad es en la mayoría de la unión de $\lambda$ [distinto] copias de $[\kappa]^\lambda$. Pero que no aumentaría la cardinalidad, así que de nuevo ha $\kappa^\lambda$.
Finalmente, ¿qué es $\kappa^\lambda$ en términos más explícitos? De que depende el universo de la teoría de conjuntos de trabajo y en $\kappa$ $\lambda$ a sí mismos. Así que no hay mejor respuesta sin información adicional.
