Kakutani rascacielos es infinito

Question

Karl E. Petersen del libro "Ergodic Theory", capítulo 2, ejercicio 9, en la página 56

Demostrar que para cualquier ergodic medida de preservación de la transformación de $T:X\rightarrow X$ sin atómica probabilidad de espacio $(X, \mathcal B, \mu)$ existe un conjunto $A$ de medida positiva para que el tiempo de retorno de $n_A$ es ilimitado.

Notación: Aquí $n_A$ está dado por $n_A (x):= \min\{n: T^n(x)\in A \} $, lo $n_A: A \rightarrow \mathbb N$ es un un.e. mensurable definido mapa (por la Recurrencia de Poincaré) y es el entero más pequeño tal que el punto de $x\in A$ devuelve a $A$ bajo la acción de $T$. Por unbounded supongo que significa que el supremum de $n_A$ no es finito...

Yo realmente podría utilizar un poco de ayuda aquí! Muchas gracias

Answer 1

Nota: Petersen se supone que $T$ es bijective una.e. (p.2)

Esto es un poco complicado, pero creo que la siguiente intuición pueden ser: construimos una junta de medida positiva mediante la eliminación de countably muchos conjuntos de $X$, dejando a un conjunto de medida positiva con ilimitada de tiempo de retorno.

Con el Kakutani-Rokhlin Lema (Lema 4.7, p. 48) podemos encontrar algunos de $A$ con la medida a menos de la mitad, de tal manera que $TA$ $A$ son disjuntas. Borrar $TA$$X$, luego, lo esencial supremum de $n_{X/TA}$ al menos $2$ ( $A$ ) y $\mu(X/TA)>1/2$.

Mirando los rascacielos de cómo $A$ fue construido en el Kakutani-Rokhlin Lema, debería ser posible construir una lo suficientemente pequeño conjunto de medida positiva $B\subset A$ $TB,T^3B\subset TA$ $T^2B\subset A$ $B,TB,T^2B,T^3B$ discontinuo. Borrar $T^2B$$X/TA$, por lo que el conjunto resultante tiene tiempo de retorno de al menos $4$ en B.

Continuando de esta manera, con sucesivas (no demasiado grande) eliminaciones de $X$, debe ceder el conjunto que estamos buscando. Te dejo los detalles exactos.