¿Qué es la ley de la relación de dos variables independientes randon gaussiano?

Question

Posibles Duplicados:
Cómo calcular la función de densidad de probabilidad de $Z = X_1/X_2$
La función de densidad de probabilidad de la relación de dos normales R. V. s

Considere dos independientes de las variables de $N , N' \sim \mathcal N (0,1)$.¿Qué es la ley de $N/N'$ ?

Answer 1

Escribir $(N,N')$ en coordenadas polares como $(R,\Theta)$. Su distribución conjunta se convierte en $$\text{constant}\cdot e^{-r^2/2} r\,dr\,d\theta.\tag{1}$$ From $(1)$ we see that $R$, $\Theta$ are independent and $\Theta$ is uniformly distributed in $\mathbb R\bmod 2\pi$. The ratio $N/N'$ is $\tan\Theta$. Since $\bronceado$ has period one-half of a circle, nothing is lost by taking $\Theta$ to be in $(-\pi/2,\pi/2)$.

$$ \frac{d}{d\theta}\Pr\tan\Theta\le\theta) = \frac{d}{d\theta}\Pr(\Theta\le \arctan\theta) = \frac{d}{d\theta} \frac{\arctan\theta}{\pi} = \frac{1/\pi}{1+\theta^2}. $$