Cálculo de funtores derivados a la izquierda a partir de complejos acíclicos (¡no resoluciones!)

Question

Estoy leyendo un artículo en el que se utiliza el siguiente truco:

Para calcular los functores derivados izquierdos $L_{i}FM$ de un functor exacto a la derecha $F$ en un objeto $M$ en una cierta categoría abeliana, los autores construyen un complejo (¡no una resolución!) de objetos acíclicos, que termina en $M$ , digamos $A_{\bullet} \to M \to 0$ tal que la homología de este complejo es acíclica, y esta homología es matada por $F$ . Así, afirman, los functores derivados de la izquierda pueden calcularse a partir de este complejo.

¿A qué se debe esta afirmación? Parece fácil, pero no consigo entenderlo.

Answer 1

Comparar con una resolución proyectiva $P_\bullet\to M\to 0$ . Por proyectividad, obtenemos (a partir de la identidad $M\to M$ ) un morfismo complejo $P_\bullet\to A_\bullet$ que induce $F(P_\bullet)\to F(A_\bullet)$ . Con un poco de diagrama persiguiendo usted debe encontrar que $H_\bullet(F(P_\bullet))$ es lo mismo que $H_\bullet(F(A_\bullet))$ .

Un poco más explícito: Podemos construir una resolución de complejos $$\begin{matrix} &\downarrow && \downarrow&&\downarrow\\ 0\leftarrow &A_2&\leftarrow&P_{2,1}&\leftarrow&P_{2,2}&\leftarrow\\ &\downarrow && \downarrow&&\downarrow\\ 0\leftarrow &A_1&\leftarrow&P_{1,1}&\leftarrow&P_{1,2}&\leftarrow\\ &\downarrow && \downarrow&&\downarrow\\ 0\leftarrow &M&\leftarrow &P_{0,1}&\leftarrow&P_{0,2}&\leftarrow\\ &\downarrow && \downarrow&&\downarrow\\ &0&&0&&0 \end{matrix} $$ es decir, el $P_{i,j}$ son proyectivas y todas las filas son exactas. Las filas descendentes se encuentran recursivamente utilizando la proyectividad de modo que todos los cuadrados conmuten: Si todos los mapas descendentes se llaman $f$ y todos los mapas de la izquierda $g$ entonces $f\circ g\colon P_{i,j}\to P_{i-1,j-1}$ corresponde a la imagen de $g\colon P_{i-1,j}\to P_{i-1,j-1}$ porque $g\circ(f\circ g)=f\circ g\circ g=0$ Por lo tanto $f\circ g$ factores a través de $P_{i-1,j}$ dando así el siguiente $f\colon P_{i,j}\to P_{i-1,j}$ . Podemos aplicar $F$ y tomar sumas directas a través de las diagonales, es decir, dejar que $B_k=\bigoplus_{i+j=k} FP_{i,j}$ . Entonces $d:=(-1)^if+g$ hace de esto un complejo. Lo que nos interesa aquí, es que podemos ir de la fila inferior a la columna de la izquierda mediante la persecución de diagramas, encontrando así que $H_\bullet(F(P_{0,\bullet}))=H_\bullet(F(A_\bullet))$ . Efectivamente: Comience con $x_0\in FP_{0,k}$ con $Fg(x_0)=0$ . Entonces encontramos $y_1\in FP_{1,k}$ con $Ff(y_1)=x_0$ . Desde $Ff(Fg(y_1))=Fg(Ff(y_1))=0$ encontramos $y_2\in FP_{2,k-1}$ con $Ff(y_2)=y_1$ y así sucesivamente hasta que terminemos con un ciclo en $A_k$ . Aclárate que las opciones implicadas no marcan la diferencia al final (es decir, hasta los límites). Además, la persecución se puede realizar igual de bien desde la columna de la izquierda hasta la fila de abajo ...