Lo que estoy contando mal?

Question

EDIT: he cometido un error en el inicio, la segunda condición ha cambiado. Lo siento por esto.

Me piden que cuente el número de conjuntos de 4 elementos que satisfacen las dos condiciones siguientes:

1) Cada elemento del conjunto es un número de dos dígitos (de 10 a 99).

2) no Hay dígitos repetidos en el conjunto.

Lo que he hecho es separar los conjuntos en dos distintos casos. Los que tienen un elemento con los dígitos 0 y los que no.

Los juegos de el primer caso tiene tres elementos que no tienen un $0$ y uno que no. Para el primer elemento de los tres mencionados, hay $C(7,2)$ maneras de elegir los dígitos que tendrá y, a continuación, dos números posibles que se pueden formar, por lo $2C(7,2)$ posible de elementos. Aplicando el mismo razonamiento para el resto hay $2C(5,2)$ $2C(3,2)$ elementos posibles. Orden no importa en un juego, así que dividir por $4!$.

Esto significa que el número de conjuntos de el primer caso es: $C(9,7)C(7,2)C(5,2)C(3,2)\cdot2^3\cdot1/4!$

Luego me contó el número de conjuntos desde el segundo caso con un argumento similar y añadirlos juntos:

$C(9,7)C(7,2)C(5,2)C(3,2)2^3\cdot1/4! + C(9,8)C(8,2)C(6,2)C(4,2)\cdot2^4\cdot1/4!=2^3\cdot3^4\cdot5\cdot7$

La respuesta que se supone ser el doble de eso. ¿Qué es lo que estoy yo haciendo mal?

Answer 1

Caso $1$ dígitos $0$ aparece:$$\frac{4\cdot\binom97\cdot7!}{4!}$$ Caso $2$ dígitos $0$ no aparece: $$\frac{\binom98\cdot8!}{4!}$$ Recuento Total:$$\frac{4\cdot\binom97\cdot7!+\binom98\cdot8!}{4!}=\frac{3\cdot9!}{4!}=45360=2^4\cdot3^4\cdot5\cdot7$$ Como para el error en el conteo, parece que se han mezclado sus casos.

Para el caso de $1$ publicado: $$C(9,7)C(7,2)C(5,2)C(3,2)\cdot2^3\cdot1/4!$$ Y para el caso de $2$ $$C(9,8)C(8,2)C(6,2)C(4,2)\cdot2^4\cdot1/4!$$ Pero el caso de $1$ debería haber sido:

El primer elemento contiene el dígito $0$ e hay $C(9,1)$ opciones para los otros dígitos. A continuación, $2C(8,2)$ para el segundo elemento, $2C(6,2)$ para el tercero y $2C(4,2)$ para el cuarto. El elemento con $0$ se fija en la primera posición y el orden de los otros tres no importa, lo dividimos por $3!$

El número de conjuntos en el primer caso es: $$\frac{C(9,1)\cdot2C(8,2)\cdot2C(6,2)\cdot2C(4,2)}{3!}\tag{1}$$ Del mismo modo, el caso 2 se debe:

Hay $2C(9,2)$ opciones para el primer elemento, $2C(7,2)$ para el segundo, $2C(5,2)$ para el tercero y $2C(3,2)$ para el cuarto. El orden no importa, lo dividimos por $4!$

El número de conjuntos en el segundo caso es: $$\frac{2C(9,2)\cdot2C(7,2)\cdot2C(5,2)\cdot2C(3,2)}{4!}\tag{2}$$ La adición de estas da la respuesta correcta de $2^4\cdot3^4\cdot5\cdot7=45360$
Espero que lo borra.

Ahora, para relacionarse $(1)$ $(2)$ con la solución que he publicado, me voy a volver a escribir usando solo factoriales:
$$\require{cancel}\frac{\frac{9!}{1!\cdot\cancel{8!}}\cdot\bcancel2\cdot\frac{\cancel{8!}}{\bcancel{2!}\cdot\cancel{6!}}\cdot\bcancel2\cdot\frac{\cancel{6!}}{\bcancel{2!}\cdot\cancel{4!}}\cdot\bcancel2\cdot\frac{\cancel{4!}}{\bcancel{2!}\cdot2!}}{3!}=\frac{\frac{9!}{2!}}{3!}=\frac{4\cdot\frac{9!}{2!}}{4!}=\frac{2\cdot9!}{4!}\tag{1}$$ $$\frac{\bcancel2\cdot\frac{9!}{\bcancel{2!}\cdot\cancel{7!}}\cdot\bcancel2\cdot\frac{\cancel{7!}}{\bcancel{2!}\cdot\cancel{5!}}\cdot\bcancel2\cdot\frac{\cancel{5!}}{\bcancel{2!}\cdot\cancel{3!}}\cdot\bcancel2\cdot\frac{\cancel{3!}}{\bcancel{2!}\cdot1!}}{3!}=\frac{9!}{4!}\tag{2}$$ $$\frac{2\cdot9!}{4!}+\frac{9!}{4!}=\frac{3\cdot9!}{4!}\tag{1+2}$$

Answer 2

Se han hecho dos o tres errores en la interpretación de la pregunta (suponiendo que la cuestión es exactamente como usted dijo:

(1) En los conjuntos que involucran cero, parecen asumir que no son precisamente cuatro elementos en cada conjunto. Por lo tanto, su recuento de excluir a los conjuntos como $\{10, 32\}$.

(2) En los conjuntos que no implica cero, asumir de nuevo la precisión de cuatro elementos en cada conjunto. (¿Estás seguro de que el problema no se especifica sólo establece con cuatro elementos?) (ustedes han hecho de esta corrección de ahora)

(3) Sus condiciones no se descarta establece como $\{10, 23, 45, 88\}$ desde el dígito $8$ no aparece en ningún otro elemento de la $88$ sí. (No hay dos elementos que comparten el mismo dígito.)

Por último, creo que la respuesta al problema, aunque restringido a los cuatro elementos en cada conjunto, no es $2\cdot (2^2\cdot 3^4 \cdot 5 \cdot 7)$ en cualquier caso. La restricción para no requieren de dígitos utilizado dos veces (lo cual es una fuerte restricción que usted estado), llegamos a la $$ 9\cdot \binom{8}{2} \cdot \binom62 \cdot \binom42 \cdot \frac86 + \binom92 \cdot \binom72 \cdot \binom52 \cdot \binom32 \cdot \frac{16}{34} = 60480 = 2^6\cdot 3^3\cdot 5 \cdot 7 $$