La media geométrica de la prueba con dos tangentes

Question

Hay dos tangentes líneas en $f(x) = \sqrt{x}$ cada uno con el $x$valor $a$ $b$ respectivamente.

Necesito demostrar que $c$, $x$ del valor del punto en el que las dos líneas se cruzan unos con otros, es igual a $\sqrt{ab}$, la media geométrica de $a$$b$.

He estado tratando de muchas maneras diferentes de hacer esta pregunta y sigo pegado.

Answer 1

La línea tangente en $(a,\sqrt{a})$ ha ecuación de $y=\frac{1}{2\sqrt{a}}x+\frac{\sqrt{a}}{2}$.

La línea tangente en $(b,\sqrt{b})$ ha ecuación de $y=\frac{1}{2\sqrt{b}}x+\frac{\sqrt{b}}{2}$.

Set $\frac{1}{2\sqrt{a}}x+\frac{\sqrt{a}}{2}=\frac{1}{2\sqrt{b}}x+\frac{\sqrt{b}}{2}$ y resolver para $x$.

Answer 2

Los dos puntos de tangencia se $(a, \sqrt{a})$$(b, \sqrt{b})$. Si cualquiera de $a$ o $b$ $0$ el resultado tiene trivialmente, por lo que asumen $ab \neq 0$.

Debido a que la curva es una parábola, la intersección de las tangentes, $(x_0, y_0)$,$y_0=(\sqrt{a}+\sqrt{b})/2$. Eso es porque la proyección es perpendicular a la directriz, la intersección de dos tangentes a una parábola siempre biseca al segmento entre los puntos de tangencia (saca una foto). Esto puede ser probado utilizando geometría de la escuela secundaria y se conoce a veces como la de Dos Teorema de la Tangente de la parábola.

La ecuación de la tangente en a $(a, \sqrt{a})$ es $$y- \sqrt{a}=\frac{1}{2\sqrt{a}}(x-a) . $$ Esta línea pasa a través de$(x_0, y_0)$, por lo que tenemos $$ \frac{\sqrt{a}+\sqrt{b}}{2} - \sqrt{a}=\frac{1}{2\sqrt{a}}(x_0). $$ Simplificando,
$$ \frac{\sqrt{b} - \sqrt{a}}{2} =\frac{1}{2\sqrt{a}}(x_0). $$ Compensación denominadores da $$ \sqrt{ab}- = x_0 -a, $$ y por lo $x_0= \sqrt{ab}$, como se desee.

Aviso: De hecho, si $A$ $B$ son distintos de cero puntos en la curva de $y=\sqrt{x}$ $C$ es la intersección de las tangentes en a$A$$B$, luego tenemos

el $x$-coordenadas de C es el geométrico medio de la $x$-coordenadas de $A$ $B$

y

el $y$-coordenadas de C es la aritmética media de los $y$-coordenadas de $A$$B$.