Deje $\left \lfloor{x}\right \rfloor $ denotar el piso de $x$. Supongamos $m\in \mathbb{N}$, $t$ es positivo número irracional. Poner $n=\left \lfloor{mt}\right \rfloor$. Demostrar que $$\sum_{k=1}^{m} \left \lfloor{kt}\right \rfloor +\sum_{k=1}^{n} \left \lfloor{\frac{k}{t}}\right \rfloor= mn$$
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
El siguiente podría necesitar un par de detalles de llenado, por lo que la vista como una sugerencia.
El rectángulo $R=[0,m] \times [0,n]$ $mn$ celosía puntos positivos de coordenadas. La línea de $L: y=tx$ no pasa a través de cualquiera de estos celosía puntos desde $t$ es irracional. La primera suma cuenta el entramado puntos por debajo de la $L$, y el segundo cuenta celosía puntos por encima de la $L$, desde un punto por encima de la $L$ también está a la izquierda de $L$ $L$ también puede ser escrito como $x=y/t$
Nota: un detalle es que de $n=\left \lfloor{mt}\right \rfloor$ tenemos el mayor entramado punto de la forma $(m,k)$ es la esquina superior derecha $(m,n)$ - en realidad, la característica importante es que la cosa más grande que contaba en la primera suma es en este punto superior derecho en la rejilla rectangular $R.$, Entonces la línea de $L$ a través de recortes en el borde superior de $R$ de tal manera que nada se cuentan en la suma de dos resulta estar fuera del rectángulo.
