Ejemplo claro de complejo de Koszul

Question

Deje $R$ ser un anillo conmutativo y $x$ $y$ dos elementos en $R$. Quiero construir el complejo de Koszul en $x$$y$. Empezamos por los siguientes dos complejos de la cadena

$$C_2=0\to C_1=R\xrightarrow{\ x\ } C_0= R\to C_{-1}=0$$ $$D_2=0\to D_1=R\xrightarrow{\ y\ } D_0= R\to D_{-1}=0$$ Ahora construimos el tensor de la cadena del producto complejo, que denotamos $CD:=C\otimes D$: $$CD_2=C_1\otimes D_1=R\otimes R$$ $$CD_1=C_1\otimes D_0 \oplus C_0\otimes D_1 =R\otimes R \oplus R\otimes R $$ $$CD_0=C_0\otimes D_0=R\otimes R$$ y obtenemos el complejo de cadena $$CD_3=0 \to CD_2=R \otimes R\xrightarrow{\ \partial_2\ } CD_1= R \otimes R \oplus R \otimes R \xrightarrow{\ \partial_1\ } CD_0= R \otimes R \to CD_{-1} =0$$ We now compute $\partial_1$ and $\partial_2$:

$$\partial_2 (c_1\otimes d_1)=(xc_1)\otimes d_1-c_1\otimes (yd_1)$$ y $$\partial_1 (c_1\otimes d_0+c_0\otimes d_1)=(xc_1)\otimes d_0+c_0\otimes (yd_1).$$

Ahora, quiero desde aquí expresar $\partial_1$ $\partial_2$ en la forma expresada en la página de la wikipedia (sección de Introducción). No entiendo la notación $R^2$ y la expresión de la matriz de las diferencias y donde se hizo el producto tensor desaparecer del resultado final.

Gracias por tu ayuda!!

Answer 1

Como cálculo preliminar, le sugiero que considere el ejemplo clásico de complejo de Koszul $(K,d):=(S(X^{*})\otimes \wedge (X^{*}), d)$ donde $X$ es finita y dim. espacio vectorial sobre $\mathbb R$ o $\mathbb C$$S(X^{*})$, resp. $\wedge (X^{*})$ denotar el simétrica resp. exterior álgebra $X$.

Es útil porque se puede considerar el simétrico y el exterior álgebras como adecuado el álgebra de los polinomios y de la construcción es muy explícitos.

Especifiquemos que el complejo de Koszul es negativa, gradual, es decir,

$K^{-p}:= S(X^{*})\otimes \wedge^{p} (X^{*}) \rightarrow S(X^{*})\otimes \wedge^{p-1} (X^{*}) \rightarrow \dots \rightarrow S(X^{*})\otimes \wedge^{0} (X^{*}) \rightarrow \mathbb K$

con el fin de tener un grado $+1$ diferencial de $d$, lo que se da (en monomials en $\wedge^{p} (X^{*})$) por

$d(q \otimes (x_1, \wedge\dots\wedge x_p)):=\sum_{i=1}^{p}(-1)^{i-1} p\cdot x_i \otimes (x_i\wedge\dots \wedge\hat{x}_i\wedge\dots\wedge x_p))$, donde $\hat{\cdot}$ denota la omisión y la $q\cdot x_i$ es el producto en el álgebra simétrica del polinomio $q$ y el monomio $x_i$. El signo $(-1)^{i-1}$ proviene del hecho de que $x_i$ "supera a" $x_1\wedge\dots \wedge x_{i-1}$, para alcanzar el polinomio $q$ a la izquierda.

Esta fórmula para la diferencial es exactamente el que aparece en la Wiki-artículo sobre el complejo de Koszul usted menciona en su pregunta. La reducción a que su caso es ahora sencillo.

Answer 2

Como se dijo en los comentarios $\partial_2:R=R\otimes R\to (R\otimes R)\oplus (R\otimes R)=R^2$, e $$\partial_2(1)=\partial_2(1\otimes 1)=(-1\otimes y,x\otimes 1)=(-y,x).$$

Del mismo modo, $\partial_1:R^2=(R\otimes R)\oplus (R\otimes R)\to R\otimes R=R$, y $$\partial_1(1,0)=\partial_1(1\otimes 1,0\otimes 0)=x\otimes 1=x$$ $$\partial_1(0,1)=\partial_1(0\otimes 0,1\otimes 1)=1\otimes y=y.$$