$\frac {\partial}{\partial t}T$ vs $\frac d{dt} T$.

Question

Supongamos que tenemos una función de $T_1=F(x,y,t)$. Ahora supongamos que $x=g(t),y=h(t)$, por lo que tenemos un nuevo $T_2=F(x(t),y(t),t)$, entonces tenemos que $\frac \partial{\partial t} T_2=F_t$$\frac d{dt}T_2=F_x x_t+F_yy_t+F_t$.

Mi pregunta es, si dejamos $x,y$ $t$ ser independiente de las variables, no el símbolo $\frac d{dt}T_1$ (si utilizamos la misma idea que antes, debemos tener ese $\frac d{dt}T_1=\frac {\partial}{\partial t}T_1$, ¿es esto cierto?) tiene algún significado?

Answer 1

$F(x,y,t)$ es una función de tres variables. Así que usted puede calcular el $F_x,F_y$ $F_t$ (suponiendo que existan).

Si $x=x(t)$ $y=y(t)$ $F(x(t),y(t),t)$ es una función de una variable: $t.$ Usted puede calcular su derivada $\frac{d}{dt}F$ usando esa regla de la cadena. Como te han dicho $$\dfrac{d}{dt}T=F_xx'+F_yy'+F_t.$$ So, if $x$ and $s$ are constant (don't depend on $t$), a continuación,

$$\dfrac{d}{dt}F=F_xx'+F_yy'+F_t=0F_x+0F_y+F_t=F_t=\frac{\partial}{\partial t}F.$$

Volviendo a su pregunta, $\dfrac{d}{dt}F$ es la derivada de una función de una variable y por lo tanto, si $x,y$ $t$ son independientes, a continuación, $\dfrac{d}{dt}F$ no tiene ningún sentido. $\dfrac{d}{dt}F$ puede ser pensado como la derivada a lo largo de una curva (o una derivada direccional en la dirección de la tangente de la curva). Por lo tanto, si $x,y$ $t$ son independientes, entonces no tenemos ninguna dirección determinada para obtener la derivada.