El resultado más cercano a la conjetura de Goldbach es Teorema de Chen [SCI. Sinica 16 157-176], la propuesta '' 1 + 2''. Es natural preguntar si es probable que bajo nuestros axiomas aritméticos la Goldbach conjetura es una proposición indecidible.
Respuesta
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Lo que sugiere la conjetura de Goldbach específicamente (o de otro $\Pi^0_1$ declaraciones como ésta) es indecidible puede hacer algunas declaraciones sobre el Platonismo matemático que no es intrínsecamente evidente, porque undecidability de $\Pi^0_1$ declaraciones como esta de determinar su valor de verdad...
Si usted puede demostrar la conjetura de Goldbach es indecidible en los axiomas de Peano en algunas de las mayores sistema de axiomas como $\mathsf {ZFC}$, entonces usted ha dicho prácticamente que tiene algún modelo que satifies $\mathsf{PA}$ + (Goldbach) y otro modelo que satisface $\mathsf{PA}$ + $\lnot$(Goldbach.)
Ahora lo que esto significa es que uno de estos modelos es necesariamente un no-modelo estándar de la aritmética, porque en uno de estos Goldbach la conjetura va a fallar... y en otro no. Usted ha demostrado que no sólo la undecidability de la conjetura de Goldbach con respecto a un determinado sistema de axiomas, sino que también ha demostrado que en una más grande, de algo análogo al teorema de Goodstein.
Pero esto es sólo si de alguna manera nos administrar tropezar en una prueba de independencia de algunos instrucción de un mayor sistema de axiomas. Lo que no sabemos es, si no comprobadas $\Pi^0_1$ declaración es significativa unprovably indecidible, o si tiene sentido asumir que "ahí fuera" una declaración como la conjetura de Goldbach es "true", pero no demostrable en un determinado sistema de axiomas.
Usted podría ser capaz de demostrar que es "verdadero" o "independiente" (y por lo tanto 'true' en el modelo estándar de la aritmética) en algunas de las mayores axioma del sistema, pero en algún punto hay que empezar a asumir los axiomas que se han preguntado si son "realmente" la verdad, como el Continuum de la Hipótesis, o Gran Cardenal Axiomas, o solo a algunos otros no comprobadas al azar... o el Goldbach (o lo $\Pi^0_1$ declaración, por sí mismo! Entonces usted necesita para probar la consistencia del sistema en algo aún más grande sistema, lo que nos lleva a algunos de los problemas que debe ser familiar para cualquiera que haya leído acerca de los teoremas de incompletitud.
En cuanto a la probabilidad de la undecidability de la conjetura de Goldbach en$\mathsf{PA}$, en particular, me parece bastante raro teniendo en cuenta los resultados de los teoremas de muy ligeramente más débil, declaraciones similares.
