Evaluar $\lim _{n\to \infty }\int_1^2\:\frac{x^n}{x^n+1}dx$

Question

Tenemos $$I_n=\int _1^2\:\frac{x^n}{x^n+1}dx$$ and we need to find $\lim _{n\to \infty }I_n$. Tiene alguna ideea cómo podemos evaluar este límite?

Answer 1

Bien, $\frac{x^n}{x^n+1} \leq 1$ todos los $x \in [1,2]$, y la función constante $1$ es integrable en a $[1,2]$, de modo que por el Teorema de Convergencia Dominada tenemos: $$\lim_{n \to +\infty} \int_1^2\frac{x^n}{x^n+1}\,{\rm d}x = \int_1^2 \lim_{n \to +\infty} \frac{x^n}{x^n+1}\,{\rm d}x = \int_{1}^2 1\,{\rm d}x = 1.$$

Answer 2

Tenga en cuenta que $\frac{x^n}{x^n+1}=1-\frac{1}{x^n+1}$. Por lo tanto,

$$\int_1^2 \frac{x^n}{x^n+1}dx=1-\int_1^2 \frac{1}{1+x^n}dx$$

Para $n>1$, la integral en el lado derecho se satisface la desigualdad

$$\left|\int_1^2 \frac{1}{1+x^n}dx\right|\le \int_1^2 x^{-n}dx=\frac{1-2^{1-n}}{n-1}$$

que va claramente a cero como $n \to \infty$.

Elaboración de todo esto vemos que

$$1\ge \int_1^2 \frac{x^n}{1+x^n}dx=1-\int_1^2 \frac{1}{1+x^n}dx \ge 1-\int_1^2 x^{-n}dx=1-\frac{1-2^{1-n}}{n-1}$$

Por lo tanto, por el "apriete" teorema de

$$\lim_{n \to \infty} \left(\int_1^2 \frac{x^n}{1+x^n}dx\right) =1$$

Answer 3

Dividir el numerador y el denominador del integrando por $x^n$: $$ \frac{1}{1+x^{-n}} $$ Para cada $x \in (1,2]$, $x^{-n} \to 0$ como $n \to \infty$. Pues esto es todo, pero un punto del intervalo de integración, la integral tiende a $$ \int_1^2 \frac{1}{1} \, dx = 1. $$ Para hacer esto más a fondo de esto, usted puede cortar el intervalo en una pequeña región alrededor de $1$ y el resto, y examinar el tamaño de las integrando en cada uno.