¿Por qué la continuidad de $(x,y) \rightarrow x-y$ significa que la conmutatividad de un grupo topológico?

Question

La siguiente es una parte de la P. 13 en Espacios Vectoriales Topológicos (Tercera edición Corregida 1971) por H. H. Schaefer

Dado un espacio vectorial $L$ durante un año (no necesariamente conmutativo) no discreto valora campo $K$ y una topología ${\mathfrak T}$$L$, el par $(L,{\mathfrak T})$ es llamado un espacio vectorial topológico (abreviado t.v.s.) más de $K$ si estos dos axiomas son satisfechos :

$$(LT)_1 \;\; (x,y) \rightarrow x+y \;\; \mbox{is continuous on} \;\; L \times L \;\; \mbox{into} \;\; L $$ $$(LT)_2 \;\; (\lambda,x) \rightarrow \lambda x \;\; \mbox{is continuous on} \;\; K \times L \;\; \mbox{into} \;\; L $$

Luego, 3 líneas a continuación de la frase siguiente.

Ya que, en particular, esto implica la continuidad de la $(x,y) \rightarrow x-y$, cada t.v.s. es un conmutativa topológico grupo.

No es cualquier espacio vectorial conmutativa, por definición ? O, es acerca de la conmutatividad de la $K$ ? Pero entonces, ¿cómo es muestra de la continuidad de la asignación ? Estoy confundido.

Answer 1

La discusión de $x-y$ es redundante, como OP sospecha. Sin ningún tipo de continuidad de las suposiciones, la adición de vectores y la negación de satisfacer los axiomas de un conmutativa grupo, y esto es conocido desde la base de la teoría de espacios vectoriales no teniendo en cuenta la topología. Por LT1 y LT2 estos mapas son continuos, por lo que la adición de vectores en un espacio vectorial topológico define un conmutativa topológico grupo.

El libro de autor se está refiriendo a la idea de que la estructura de un grupo puede ser determinado a partir de su operación de resta $S(x,y)=xy^{-1}$ y que las fórmulas para hacerlo, demuestran que si $S(x,y)$ es continuo, de modo que son la adición y la multiplicación de los mapas. Definir a un grupo como un conjunto con una operación de resta se realiza generalmente como un atajo para la comprobación de que algún tipo de estructura es un grupo, para evitar la comprobación de la multiplicación y de la inversa de los axiomas por separado. En este caso, uno ya sabe que hay una estructura de grupo y el único punto a verificar es la continuidad. Aunque el argumento en el primer párrafo de esta respuesta es correcta, dando la prueba de la resta es un ejercicio en el uso de los axiomas, maneja el grupo de la ley y la continuidad en el mismo tiempo, y proporciona una línea de argumento que podría tranquilizar a aquellos lectores que no estaría satisfecho con una forma más lógica económica (pero no escribir) la observación de que la prueba de la siguiente manera a partir de los requisitos previos.