Digamos que tenemos dos números enteros, $x$$y$. Si $\gcd(x,y)=5$, ¿cómo podemos encontrar cada valor de $\gcd(x^2,y)$? Si usted puede encontrar una lista de cada valor, se puede demostrar que esta lista esté completa?
Respuestas
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Aquí es algo a tener en cuenta: Puede $\gcd(x^2,y)$ ser divisible por ninguno de los números primos distintos de 5? (Tenga en cuenta que si $p$ es cualquier número primo, entonces $p$ divide $x^2$ si y sólo si $p$ divide $x$.)
¿Crees que $5^{100000}$ es un valor posible para $\gcd(x^2,y)$? Por qué o por qué no? Si usted trata de hacer que tu intuición precisa acerca de esto, que debería tomar el resto del camino.
David HAust
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Oded
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Si $(x,y)=5$, $5$ es la única primos comunes en la factorizations de $x$$y$. Por lo $5$ orden $1$, (eso significa que el poder en la factorización es $1$) en al menos uno de los factorizations. Si la orden fue mayor en tanto, a continuación, $(x,y)$ sería mayor que $5$. Si $5$ orden $1$$y$, entonces el cuadrado de $x$ no va a introducir nuevos factores de $5$$y$, lo $(x^2,y)=5$ nuevo. Si $5$ orden $1$$x$, entonces tiene orden de $2$$x^2$. Por lo que dependiendo de la orden de $5$ en $y$, $(x^2,y)$ podría ser $5$ o $25$.
